Determine o volume da parte do primeiro octante do sólido delimitado pelos cilindros x^2+y^2=1 e y^2+z^2=1 e compreendido entre eles.

Passo 1

O enunciado pede o volume da parte do primeiro octante (isto é, x>=0, y>=0, z>=0) da região definida simultaneamente por
x^2+y^2<=1 e y^2+z^2<=1
O conteúdo da matéria é cálculo de volume por integração tripla em coordenadas cartesianas. Vamos expressar as desigualdades como limites de integração em x, y e z.

Passo 2

Para um dado y com 0<= y<=1, a condição x^2+y^2<=1
0<= x<=raiz1-y^2,
e a condição y^2+z^2<=1
0<= z<=raiz1-y^2
Logo o volume é
V=integraly=0^1l(integralx=0^raiz1-y^2!integralz=0^raiz1-y^21,dz,dxr)dy

Passo 3

Calculemos a integral sobre x e z. Como os limites em x e z são independentes,
integralx=0^raiz1-y^2!!integralz=0^raiz1-y^21,dz,dx =l(raiz1-y^2r)timesl(raiz1-y^2r) =(1-y^2)

Passo 4

Substituindo na integral em y,
V=integral0^1(1-y^2),dy =l[y-tfracy^33r]0^1 =1-tfrac13 =tfrac23

Resposta

tfrac23

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