Resolva as equações diferenciais.
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Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial
y’’ - 6y’ + 9y = 0
isso é uma equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, vamos usar o método da equação característica.
Passo 2
Na teoria de equações lineares com coeficientes constantes, assumimos uma solução do tipo
y = e^{rx}
Substituindo em y’’ - 6y’ + 9y = 0, obtemos a equação característica correspondente.
Passo 3
Substituindo y = e^{rx} na equação diferencial, temos
y’ = r e^{rx},
y’’ = r^2 e^{rx}.
Então a equação diferencial vira
r^2 e^{rx} - 6r e^{rx} + 9 e^{rx} = 0
Fatorando e^{rx} (que nunca é zero), sobra a equação característica
Passo 4
A equação característica é
r^2 - 6r + 9 = 0
Reconhecemos que isso é um quadrado perfeito:
(r - 3)^2 = 0
Logo r = 3 é uma raiz dupla (multiplicidade 2).
Passo 5
Quando a raiz da equação característica é dupla, a solução geral da equação diferencial homogênea é dada por
y(x) = C_1 e^{r x} + C_2 x e^{r x}.
Substituindo r = 3, chegamos à solução geral desejada.