Determine a derivada de cada função a seguir:
f(x)=\ln ^{2}(\operatorname{tg} x)

Passo 1

O enunciado pede: determinar a derivada da função
f(x)=\ln^{2}\!\big(\operatorname{tg} x\big).
Informações dadas:
  • A função é a composição de várias funções: a função tangente \operatorname{tg}x (vou usar também a notação \tan x), depois o logaritmo natural \ln(\cdot) e por fim a elevação ao quadrado.
  • É preciso lembrar que \ln(\operatorname{tg}x) só está definida quando \operatorname{tg}x>0.

Passo 2

Reescrevendo a função de forma a visualizar as composições:
f(x)=\big(\ln(\tan x)\big)^2.
Para derivar, vamos aplicar a regra da cadeia várias vezes: primeiro para a potência quadrada, depois para o logaritmo, e por fim para \tan x. Vou explicar cada uma dessas regras antes de aplicar.

Passo 3

Regra da cadeia (caso simples): se F(x)=(g(x))^2, então
F'(x)=2\,g(x)\,g'(x).
Aqui g(x)=\ln(\tan x). Aplicando essa regra teremos
f'(x)=2\,\ln(\tan x)\cdot\frac{d}{dx}\big[\ln(\tan x)\big].
Explicação curta: derivada de u^2 em relação a x é 2u\cdot u', onde u'=du/dx.

Passo 4

Agora precisamos da derivada de \ln(\tan x). Regra: se h(x)=\ln(u(x)), então
h'(x)=\frac{u'(x)}{u(x)}.
Neste caso u(x)=\tan x. Portanto
\frac{d}{dx}\big[\ln(\tan x)\big]=\frac{\dfrac{d}{dx}\big[\tan x\big]}{\tan x}.
Expliquei: derivada do logaritmo natural é a derivada do argumento dividida pelo próprio argumento.

Passo 5

Derivada da tangente: regra conhecida — a derivada de \tan x é \operatorname{sec}^{2}x, isto é,
\frac{d}{dx}\big[\tan x\big]=\operatorname{sec}^{2}x.
Recordando que \operatorname{sec} x = \dfrac{1}{\cos x} e \operatorname{sec}^{2}x=\dfrac{1}{\cos^{2}x}.

Passo 6

Substituindo o resultado do Passo 5 no Passo 4, obtemos
\frac{d}{dx}\big[\ln(\tan x)\big]=\frac{\operatorname{sec}^{2}x}{\tan x}.
Agora voltamos ao Passo 3 e substituímos esse valor em f'(x):
f'(x)=2\,\ln(\tan x)\cdot\frac{\operatorname{sec}^{2}x}{\tan x}.

Passo 7

Podemos simplificar a expressão usando relações trigonométricas. Lembrando que \tan x=\dfrac{\sin x}{\cos x} e \operatorname{sec}^{2}x=\dfrac{1}{\cos^{2}x}, então
\frac{\operatorname{sec}^{2}x}{\tan x}=\frac{1/\cos^{2}x}{\sin x/\cos x}=\frac{1}{\sin x\cos x}.
Logo uma forma alternativa e mais simplificada é
f'(x)=2\,\ln(\tan x)\cdot\frac{1}{\sin x\cos x}.

Passo 8

Podemos ainda usar a identidade \sin 2x=2\sin x\cos x para escrever a derivada de outra forma útil:
\frac{1}{\sin x\cos x}=\frac{2}{\sin 2x},
portanto
f'(x)=2\,\ln(\tan x)\cdot\frac{2}{\sin 2x}=\frac{4\,\ln(\tan x)}{\sin 2x}.
Todas as formas são equivalentes; escolha a que achar mais prática na prova.

Passo 9

Domínio de validade: as fórmulas acima valem apenas onde \tan x>0 e \tan x é definida. Em termos de intervalos,
x\in\bigcup_{k\in\mathbb{Z}}\big(k\pi,\;k\pi+\tfrac{\pi}{2}\big).
Fora desses intervalos a função inicial não está definida (ou \ln(\tan x) não existe), então a derivada também não é relevante.

Resposta

f'(x)=2\,\ln(\tan x)\cdot\frac{\operatorname{sec}^{2}x}{\tan x}=\frac{2\,\ln(\tan x)}{\sin x\cos x}=\frac{4\,\ln(\tan x)}{\sin 2x}

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