Determine a derivada de cada função a seguir:
Passo 1
O enunciado pede: determinar a derivada da função
Informações dadas:
- A função é a composição de várias funções: a função tangente
(vou usar também a notação ), depois o logaritmo natural e por fim a elevação ao quadrado. - É preciso lembrar que
só está definida quando .
Passo 2
Reescrevendo a função de forma a visualizar as composições:
Para derivar, vamos aplicar a regra da cadeia várias vezes: primeiro para a potência quadrada, depois para o logaritmo, e por fim para
. Vou explicar cada uma dessas regras antes de aplicar.
Passo 3
Regra da cadeia (caso simples): se
, então
Aqui
. Aplicando essa regra teremos
Explicação curta: derivada de
em relação a
é
, onde
.
Passo 4
Agora precisamos da derivada de
. Regra: se
, então
Neste caso
. Portanto
Expliquei: derivada do logaritmo natural é a derivada do argumento dividida pelo próprio argumento.
Passo 5
Derivada da tangente: regra conhecida — a derivada de
é
, isto é,
Recordando que
e
.
Passo 6
Substituindo o resultado do Passo 5 no Passo 4, obtemos
Agora voltamos ao Passo 3 e substituímos esse valor em
:
Passo 7
Podemos simplificar a expressão usando relações trigonométricas. Lembrando que
e
, então
Logo uma forma alternativa e mais simplificada é
Passo 8
Podemos ainda usar a identidade
para escrever a derivada de outra forma útil:
portanto
Todas as formas são equivalentes; escolha a que achar mais prática na prova.
Passo 9
Domínio de validade: as fórmulas acima valem apenas onde
e
é definida. Em termos de intervalos,
Fora desses intervalos a função inicial não está definida (ou
não existe), então a derivada também não é relevante.