Determine o valor da constante
para que se tenha
Passo 1
Vamos resolver um exercício de cálculo que pede para encontrar o valor da constante
de modo que a integral de
de
a
seja igual a 1. Isso envolve conceitos de integrais improprias e funções exponenciais.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a função que estamos integrando:
. O valor absoluto de
faz com que a função seja simétrica em relação ao eixo
. Isso significa que a área sob a curva de
a
é o dobro da área de 0 a
.
Passo 3
Então, podemos reescrever a integral da seguinte forma:
Passo 4
Agora, vamos calcular a integral
. Sabemos que a integral de
em relação a
é
, desde que
.
Passo 5
Aplicando isso, temos:
Passo 6
Precisamos avaliar o limite quando
tende a
. Para que a função
não “exploda” para infinito, o expoente
deve ser negativo. Assim, apenas valores de
garantirão a convergência da integral.
Passo 7
Calculando o limite:
Passo 8
Voltando à nossa expressão original:
Passo 9
Sabemos que essa integral deve ser igual a 1:
Passo 10
Resolvendo para
:
Resposta
O valor da constante
é
.