Determine o valor da constante a para que se tenha
integral-infty^infty e^a|x| d x=1

Passo 1

Vamos resolver um exercício de cálculo que pede para encontrar o valor da constante de modo que a integral de de a seja igual a 1. Isso envolve conceitos de integrais improprias e funções exponenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função que estamos integrando: . O valor absoluto de faz com que a função seja simétrica em relação ao eixo . Isso significa que a área sob a curva de a é o dobro da área de 0 a .

Passo 3

Então, podemos reescrever a integral da seguinte forma:
integral-infty^infty e^a|x| dx = 2 integral0^infty e^a x dx

Passo 4

Agora, vamos calcular a integral . Sabemos que a integral de em relação a é , desde que .

Passo 5

Aplicando isso, temos:
integral0^infty e^a x dx = [ e^a xa ]0^infty

Passo 6

Precisamos avaliar o limite quando tende a . Para que a função não “exploda” para infinito, o expoente deve ser negativo. Assim, apenas valores de garantirão a convergência da integral.

Passo 7

Calculando o limite:
limx to infty e^a xa - e^0a = 0 - 1a = -1a

Passo 8

Voltando à nossa expressão original:
2 integral0^infty e^a x dx = 2 ( -1a ) = -2a

Passo 9

Sabemos que essa integral deve ser igual a 1:
-2a = 1

Passo 10

Resolvendo para a = -2 :

Resposta

O valor da constante é .

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