Uma solução de 60 kg de sal em água está num tanque de 400L. Faz-se entrar água nesse tanque na razão de
e a mistura mantida homogênea por agitação, sai do tanque na mesma razão. Qual a quantidade de sal existente no tanque no fim de 1 hora?
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um tanque com 400 litros de uma solução que contém 60 kg de sal em água. Água pura está sendo adicionada ao tanque a uma taxa de 8 litros por minuto, e a mistura está sendo mexida para ficar homogênea. Ao mesmo tempo, a mistura sai do tanque na mesma taxa de 8 litros por minuto. O objetivo é descobrir quanto sal resta no tanque após 1 hora. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de equações diferenciais aplicadas a misturas.
Passo 2
Primeiro, vamos definir o que está acontecendo com o sal no tanque. A água que entra é pura, ou seja, não traz sal nenhum. A água que sai leva consigo uma parte do sal que está na mistura. Queremos saber como a quantidade de sal no tanque muda com o tempo.
Passo 3
Vamos chamar de
a quantidade de sal no tanque no instante
(em minutos). Inicialmente, temos
kg de sal.
Passo 4
A taxa com que o sal sai do tanque depende da concentração de sal na mistura. Como o tanque tem sempre 400 litros, a concentração é
kg por litro. Como sai 8 litros por minuto, a taxa de saída de sal é:
Passo 5
Como não está entrando sal, a variação da quantidade de sal no tanque é apenas a taxa de saída. Então, podemos escrever a equação diferencial:
Isso significa que a quantidade de sal está diminuindo ao longo do tempo.
Passo 6
Para resolver essa equação diferencial, separamos as variáveis e integramos:
Onde
é a constante de integração.
Passo 7
Elevando ambos os lados para a base
para resolver para
:
Usamos a condição inicial
para encontrar
:
Então, a solução da equação é:
Passo 8
Agora, queremos saber quanto sal resta após 1 hora. Como 1 hora tem 60 minutos, substituímos
na equação:
Passo 9
Calculando numericamente:
Resposta
Após 1 hora, existem aproximadamente 18,07 kg de sal no tanque.