Uma solução de 60 kg de sal em água está num tanque de 400L. Faz-se entrar água nesse tanque na razão de 8 L/min e a mistura mantida homogênea por agitação, sai do tanque na mesma razão. Qual a quantidade de sal existente no tanque no fim de 1 hora?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um tanque com 400 litros de uma solução que contém 60 kg de sal em água. Água pura está sendo adicionada ao tanque a uma taxa de 8 litros por minuto, e a mistura está sendo mexida para ficar homogênea. Ao mesmo tempo, a mistura sai do tanque na mesma taxa de 8 litros por minuto. O objetivo é descobrir quanto sal resta no tanque após 1 hora. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de equações diferenciais aplicadas a misturas.

Passo 2

Primeiro, vamos definir o que está acontecendo com o sal no tanque. A água que entra é pura, ou seja, não traz sal nenhum. A água que sai leva consigo uma parte do sal que está na mistura. Queremos saber como a quantidade de sal no tanque muda com o tempo.

Passo 3

Vamos chamar de a quantidade de sal no tanque no instante (em minutos). Inicialmente, temos kg de sal.

Passo 4

A taxa com que o sal sai do tanque depende da concentração de sal na mistura. Como o tanque tem sempre 400 litros, a concentração é kg por litro. Como sai 8 litros por minuto, a taxa de saída de sal é:
í

Passo 5

Como não está entrando sal, a variação da quantidade de sal no tanque é apenas a taxa de saída. Então, podemos escrever a equação diferencial:
Isso significa que a quantidade de sal está diminuindo ao longo do tempo.

Passo 6

Para resolver essa equação diferencial, separamos as variáveis e integramos:
Onde é a constante de integração.

Passo 7

Elevando ambos os lados para a base para resolver para :
Usamos a condição inicial para encontrar :
Então, a solução da equação é:

Passo 8

Agora, queremos saber quanto sal resta após 1 hora. Como 1 hora tem 60 minutos, substituímos na equação:

Passo 9

Calculando numericamente:

Resposta

Após 1 hora, existem aproximadamente 18,07 kg de sal no tanque.

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