Suponha que um grande tanque para misturas contenha inicialmente 300 galões de água, no qual foram dissolvidas 50 libras de sal. Água pura é bombeada para dentro do tanque a uma taxa de 3 gal/min, e então, quando a soluç âo está bem misturada, ela é bombeada para fora segundo a mesma taxa. Determine uma equação diferencial para a quantidade de sal A(t) no tanque no instante t.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um tanque grande com 300 galões de água, onde já estão dissolvidas 50 libras de sal. Água pura está entrando no tanque a uma taxa de , e a solução bem misturada está saindo na mesma taxa. Nosso objetivo aqui é encontrar uma equação diferencial que descreva a quantidade de sal A(t) no tanque em qualquer instante de tempo t. Vamos usar conceitos de taxas de variação e mistura para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que está acontecendo com o sal no tanque. Como está entrando água pura, isso significa que não há sal entrando no tanque. Então, a taxa de entrada de sal é zero.

Passo 3

Agora, vamos olhar para a saída. A solução está saindo a , e ela está bem misturada. Isso quer dizer que a concentração de sal na água que está saindo é a mesma da concentração total no tanque. A concentração de sal é dada por libras por galão, já que o volume total no tanque é constante em 300 galões.

Passo 4

Então, a taxa de saída de sal é a concentração multiplicada pela taxa de fluxo de saída. Ou seja:
í
Essa é a quantidade de sal que está saindo por minuto.

Passo 5

Agora, vamos montar a equação diferencial. A taxa de variação da quantidade de sal no tanque, , é igual à taxa de entrada menos a taxa de saída. Como a taxa de entrada é zero:

Resposta

A equação diferencial que descreve a quantidade de sal no tanque em função do tempo é:

Exercícios relacionados