1. \operatorname{Se} f^{\prime}(r) existe, então \lim _{x \rightarrow r} f(x)=f(r).

Passo 1

O enunciado afirma: "Se f'(r) existe, então \lim_{x\to r} f(x)=f(r)".
O que é dado: a derivada de f no ponto r, isto é f'(r), existe (logo é um número finito).
O que se pede: decidir se a afirmação é verdadeira ou falsa e justificar (provar ou dar contraexemplo).

Passo 2

Lembrar da definição de derivada no ponto r.
A derivada f'(r) é definida como o limite (quando existe):
f'(r)=\lim_{x\to r}\frac{f(x)-f(r)}{x-r}.
Aqui \frac{f(x)-f(r)}{x-r} é a taxa de variação média de f entre x e r. Dizer que f'(r) existe significa que esse limite existe e é um número finito.

Passo 3

Lembrar da definição de continuidade no ponto r.
A função f é contínua em r quando
\lim_{x\to r} f(x)=f(r).
Equivalente dizer que
\lim_{x\to r}\bigl(f(x)-f(r)\bigr)=0.

Passo 4

Fazer uma fatoração elementar que liga as duas definições:
f(x)-f(r)=(x-r)\cdot\frac{f(x)-f(r)}{x-r}.
Essa igualdade vale para todo x\neq r. Ela mostra que a diferença f(x)-f(r) é o produto de (x-r) por aquele quociente que aparece na definição da derivada.

Passo 5

Agora tomar limite em ambos os lados quando x\to r. Como f'(r) existe, sabemos que
\lim_{x\to r}\frac{f(x)-f(r)}{x-r}=f'(r)
é um número finito. Também é claro que
\lim_{x\to r}(x-r)=0.
Pela regra do limite do produto (que diz: se \lim g(x)=L e \lim h(x)=M existem e são finitos então \lim g(x)h(x)=LM), pode-se passar o limite para o produto.

Passo 6

Aplicando a regra do produto ao lado direito da fatoração, obtemos
\lim_{x\to r}\bigl(f(x)-f(r)\bigr)=\lim_{x\to r}(x-r)\cdot\lim_{x\to r}\frac{f(x)-f(r)}{x-r}=0\cdot f'(r)=0.
Portanto \lim_{x\to r}\bigl(f(x)-f(r)\bigr)=0, que por definição é exatamente a continuidade em r.

Passo 7

Concluir: a existência de f'(r) implica que f é contínua em r, ou seja,
\lim_{x\to r} f(x)=f(r).
Isso prova que a afirmação do enunciado é verdadeira.

Passo 8

Comentário intuitivo e exemplo rápido para fixar: derivabilidade exige que a taxa de variação média tenha um limite finito quando x se aproxima de r. Se a taxa média tem limite finito, então ao multiplicá‑la por (x-r) (que vai a zero) a diferença f(x)-f(r) tem que ir a zero — logo f não pode “pular” em r. Exemplo concreto: f(x)=x^2 tem f'(r)=2r (existe para todo r), e realmente \lim_{x\to r} x^2=r^2=f(r).

Resposta

Verdadeiro.

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