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existe, então
.
Passo 1
O enunciado afirma: "Se
existe, então
".
O que é dado: a derivada de no ponto
, isto é
, existe (logo é um número finito).
O que se pede: decidir se a afirmação é verdadeira ou falsa e justificar (provar ou dar contraexemplo).
O que é dado: a derivada de
O que se pede: decidir se a afirmação é verdadeira ou falsa e justificar (provar ou dar contraexemplo).
Passo 2
Lembrar da definição de derivada no ponto
.
A derivada é definida como o limite (quando existe):
A derivada
Aqui
é a taxa de variação média de
entre
e
. Dizer que
existe significa que esse limite existe e é um número finito.
Passo 3
Lembrar da definição de continuidade no ponto
.
A função é contínua em
quando
A função
Equivalente dizer que
Passo 4
Fazer uma fatoração elementar que liga as duas definições:
Essa igualdade vale para todo
. Ela mostra que a diferença
é o produto de
por aquele quociente que aparece na definição da derivada.
Passo 5
Agora tomar limite em ambos os lados quando
. Como
existe, sabemos que
é um número finito. Também é claro que
Pela regra do limite do produto (que diz: se
e
existem e são finitos então
), pode-se passar o limite para o produto.
Passo 6
Aplicando a regra do produto ao lado direito da fatoração, obtemos
Portanto
, que por definição é exatamente a continuidade em
.
Passo 7
Concluir: a existência de
implica que
é contínua em
, ou seja,
Isso prova que a afirmação do enunciado é verdadeira.
Passo 8
Comentário intuitivo e exemplo rápido para fixar: derivabilidade exige que a taxa de variação média tenha um limite finito quando
se aproxima de
. Se a taxa média tem limite finito, então ao multiplicá‑la por
(que vai a zero) a diferença
tem que ir a zero — logo
não pode “pular” em
. Exemplo concreto:
tem
(existe para todo
), e realmente
.
Resposta
Verdadeiro.