Se
for derivável, então
.
Passo 1
O enunciado dá a hipótese e faz uma afirmação que devemos avaliar. Especificamente:
- Dado que
é derivável (isto é, possui derivada onde for necessário). - A afirmação a ser verificada é:
.
O que o enunciado pede: decidir se essa igualdade é verdadeira para todo
do domínio apropriado e, em caso negativo, mostrar a forma correta da derivada e explicar porquê.
Informações relevantes implícitas:
- A composição
faz sentido quando está no domínio de ; portanto estamos interessados em (ou se tratar adequadamente o ponto , dependendo de ). -
significa a derivada de avaliada no ponto cujo argumento é . Há uma potencial fonte de confusão entre avaliar em ou em — isso é central aqui.
Passo 2
Vamos lembrar e explicar (passo a passo, bem didático) a regra que permite calcular a derivada de uma composição de funções — a chamada regra da cadeia — porque é a ferramenta natural para este problema.
Regra da cadeia (forma verbal e depois formal):
- Verbal: se uma função
é dada por , e se é derivável em e é derivável em , então a derivada de em é o produto da derivada de avaliada em pela derivada de em . - Formalmente:
Explicando as variáveis:
é o argumento que entra em
. A notação
significa "a derivada de
tomada no ponto
". Ou seja, primeiro calcula-se
e depois avalia-se
nesse
.
Passo 3
Aplicando a regra da cadeia ao nosso caso: aqui
. Então identificamos:
-
. -
é a outra função da composição.
Pela regra da cadeia:
Substituindo
:
Note bem: o fator
é a derivada de
avaliada no número
, não em
.
Passo 4
Agora precisamos calcular
. Vou derivar
de forma elementar usando a definição de derivada (diferença quociente e racionalização), para você conseguir fazer isso em prova sem decorar apenas por memorização.
Definição:
Para calcular esse limite, racionaliza-se o numerador multiplicando por
:
Agora tomamos o limite
:
Portanto:
para
. (Se quiser incluir
precisa verificar continuidade e existência de limite; o resultado também pode ser obtido para
sob condições, mas na prática em provas usa-se
.)
Passo 5
Retornando à composição e substituindo
no resultado da regra da cadeia:
Ou, escrevendo de forma compacta:
Reforçando o ponto crucial: a derivada correta tem
avaliado em
, isto é,
. A afirmação do enunciado tinha
no numerador, o que troca onde a derivada de
é avaliada — essa é a fonte do erro.
Passo 6
Para ficar bem claro, vamos fazer um contraexemplo concreto — escolher uma
simples e calcular ambos os lados para ver que o enunciado está errado.
Escolha
. Então
.
- Calcule
. Temos . Logo . - Agora aplique a fórmula (correta) que encontramos:
coincide com
.
- A fórmula errada do enunciado daria:
que é diferente de
para quase todo
(somente igual a
quando
). Portanto a igualdade do enunciado falha nesse exemplo — ou seja, é falsa em geral.
Passo 7
Resumo instrutivo (como resolver isso em prova):
- Reconheça uma composição
. Identifique e aplique a regra da cadeia: derive em relação ao seu argumento e multiplique por . - Calcule
com a diferença quociente (racionalizando) ou lembrando a derivada de é . - Cuidado com o lugar onde se avalia
: é em , logo . - Se desconfiar da resposta, teste com uma função simples como
ou .
Resposta
Falso. A derivada correta é
.