Se f for derivável, então \frac{d}{d x} f(\sqrt{x})=\frac{f^{\prime}(x)}{2 \sqrt{x}}.

Passo 1

O enunciado dá a hipótese e faz uma afirmação que devemos avaliar. Especificamente:
  • Dado que f é derivável (isto é, possui derivada onde for necessário).
  • A afirmação a ser verificada é: \dfrac{d}{dx} f(\sqrt{x}) = \dfrac{f'(x)}{2\sqrt{x}}.
O que o enunciado pede: decidir se essa igualdade é verdadeira para todo x do domínio apropriado e, em caso negativo, mostrar a forma correta da derivada e explicar porquê.
Informações relevantes implícitas:
  • A composição x\mapsto f(\sqrt{x}) faz sentido quando \sqrt{x} está no domínio de f; portanto estamos interessados em x>0 (ou x\ge0 se tratar adequadamente o ponto 0, dependendo de f).
  • f'(x) significa a derivada de f avaliada no ponto cujo argumento é x. Há uma potencial fonte de confusão entre avaliar f' em x ou em \sqrt{x} — isso é central aqui.

Passo 2

Vamos lembrar e explicar (passo a passo, bem didático) a regra que permite calcular a derivada de uma composição de funções — a chamada regra da cadeia — porque é a ferramenta natural para este problema.
Regra da cadeia (forma verbal e depois formal):
  • Verbal: se uma função g é dada por g(x)=f(h(x)), e se f é derivável em h(x) e h é derivável em x, então a derivada de g em x é o produto da derivada de f avaliada em h(x) pela derivada de h em x.
  • Formalmente:
(g)'(x) = (f\circ h)'(x) = f'\big(h(x)\big)\cdot h'(x).
Explicando as variáveis: h(x) é o argumento que entra em f. A notação f'\big(h(x)\big) significa "a derivada de f tomada no ponto u=h(x)". Ou seja, primeiro calcula-se u=h(x) e depois avalia-se f' nesse u.

Passo 3

Aplicando a regra da cadeia ao nosso caso: aqui g(x)=f(\sqrt{x}). Então identificamos:
  • h(x)=\sqrt{x}.
  • f é a outra função da composição.
Pela regra da cadeia:
\frac{d}{dx} f(\sqrt{x}) = f'\big(h(x)\big)\cdot h'(x).
Substituindo h(x)=\sqrt{x}:
\frac{d}{dx} f(\sqrt{x}) = f'\big(\sqrt{x}\big)\cdot \frac{d}{dx}\big(\sqrt{x}\big).
Note bem: o fator f'\big(\sqrt{x}\big) é a derivada de f avaliada no número \sqrt{x}, não em x.

Passo 4

Agora precisamos calcular h'(x)=\dfrac{d}{dx}\big(\sqrt{x}\big). Vou derivar \sqrt{x} de forma elementar usando a definição de derivada (diferença quociente e racionalização), para você conseguir fazer isso em prova sem decorar apenas por memorização.
Definição:
h'(x)=\lim_{t\to x}\frac{\sqrt{t}-\sqrt{x}}{t-x}.
Para calcular esse limite, racionaliza-se o numerador multiplicando por \dfrac{\sqrt{t}+\sqrt{x}}{\sqrt{t}+\sqrt{x}}:
\frac{\sqrt{t}-\sqrt{x}}{t-x}=\frac{\sqrt{t}-\sqrt{x}}{t-x}\cdot\frac{\sqrt{t}+\sqrt{x}}{\sqrt{t}+\sqrt{x}} = \frac{t-x}{(t-x)\big(\sqrt{t}+\sqrt{x}\big)}=\frac{1}{\sqrt{t}+\sqrt{x}}.
Agora tomamos o limite t\to x:
h'(x)=\lim_{t\to x}\frac{1}{\sqrt{t}+\sqrt{x}}=\frac{1}{2\sqrt{x}}.
Portanto:
\frac{d}{dx}\big(\sqrt{x}\big)=\frac{1}{2\sqrt{x}},
para x>0. (Se quiser incluir x=0 precisa verificar continuidade e existência de limite; o resultado também pode ser obtido para x=0 sob condições, mas na prática em provas usa-se x>0.)

Passo 5

Retornando à composição e substituindo h'(x) no resultado da regra da cadeia:
\frac{d}{dx} f(\sqrt{x}) = f'\big(\sqrt{x}\big)\cdot \frac{1}{2\sqrt{x}}.
Ou, escrevendo de forma compacta:
\frac{d}{dx} f(\sqrt{x}) = \frac{f'\big(\sqrt{x}\big)}{2\sqrt{x}}.
Reforçando o ponto crucial: a derivada correta tem f' avaliado em \sqrt{x}, isto é, f'(\sqrt{x}). A afirmação do enunciado tinha f'(x) no numerador, o que troca onde a derivada de f é avaliada — essa é a fonte do erro.

Passo 6

Para ficar bem claro, vamos fazer um contraexemplo concreto — escolher uma f simples e calcular ambos os lados para ver que o enunciado está errado.
Escolha f(u)=u^2. Então f'(u)=2u.
  • Calcule g(x)=f(\sqrt{x}). Temos g(x)=(\sqrt{x})^2=x. Logo g'(x)=1.
  • Agora aplique a fórmula (correta) que encontramos:
\frac{f'\big(\sqrt{x}\big)}{2\sqrt{x}} = \frac{2\sqrt{x}}{2\sqrt{x}}=1,
coincide com g'(x).
  • A fórmula errada do enunciado daria:
\frac{f'(x)}{2\sqrt{x}} = \frac{2x}{2\sqrt{x}}=\sqrt{x},
que é diferente de 1 para quase todo x (somente igual a 1 quando x=1). Portanto a igualdade do enunciado falha nesse exemplo — ou seja, é falsa em geral.

Passo 7

Resumo instrutivo (como resolver isso em prova):
  • Reconheça uma composição f(\sqrt{x}). Identifique h(x)=\sqrt{x} e aplique a regra da cadeia: derive f em relação ao seu argumento e multiplique por h'(x).
  • Calcule h'(x) com a diferença quociente (racionalizando) ou lembrando a derivada de \sqrt{x} é \dfrac{1}{2\sqrt{x}}.
  • Cuidado com o lugar onde se avalia f': é em h(x)=\sqrt{x}, logo f'(\sqrt{x}).
  • Se desconfiar da resposta, teste com uma função simples como f(u)=u^2 ou f(u)=\sin u.

Resposta

Falso. A derivada correta é \displaystyle \frac{d}{dx} f(\sqrt{x})=\frac{f'\big(\sqrt{x}\big)}{2\sqrt{x}}.

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