Obtenha a derivada de cada uma das seguintes funções:
f(x)=\left(3 x^{2}+x\right)\left(1+x+x^{3}\right)

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função
f(x) = \bigl(3x^{2} + x\bigr)\bigl(1 + x + x^{3}\bigr).
O conteúdo necessário é a regra do produto e a derivação de polinômios.

Passo 2

Definimos
u(x) = 3x^{2} + x \quad\text{e}\quad v(x) = 1 + x + x^{3}.
Assim, f(x)=u(x)\,v(x).

Passo 3

Calculamos as derivadas de u e v:
u'(x) = \frac{d}{dx}\bigl(3x^{2}+x\bigr) = 6x + 1,
v'(x) = \frac{d}{dx}\bigl(1 + x + x^{3}\bigr) = 1 + 3x^{2}.

Passo 4

Aplicamos a regra do produto:
f'(x) = u'(x)\,v(x) + u(x)\,v'(x) = (6x+1)(1 + x + x^{3}) + (3x^{2}+x)(1 + 3x^{2}).

Passo 5

Expandimos e somamos termos semelhantes:
(6x+1)(1 + x + x^{3}) = 6x + 6x^{2} + 6x^{4} + 1 + x + x^{3},
(3x^{2}+x)(1 + 3x^{2}) = 3x^{2} + 9x^{4} + x + 3x^{3}.
Somando tudo:
f'(x) = 1 + (6x + x + x) + (6x^{2}+3x^{2}) + (x^{3}+3x^{3}) + (6x^{4}+9x^{4})
\phantom{f'(x)} = 1 + 8x + 9x^{2} + 4x^{3} + 15x^{4}.

Resposta

f'(x) = 15x^{4} + 4x^{3} + 9x^{2} + 8x + 1.

Exercícios relacionados