Determine a derivada de cada uma das seguintes funçōes nos pontos indicados:
b) f(x, y)=3 x^2 y-x y^3+2 em(1,2)

Passo 1

Aqui a gente precisa achar as derivadas parciais de f(x,y)=3 x^{2} y − x y^{3}+2 no ponto (1,2). O conteúdo envolvido é derivada parcial, que consiste em derivar em relação a uma variável mantendo a outra fixa.

Passo 2

Para calcular ∂f/∂x, tratamos y como constante e derivamos termo a termo:
  • De 3 x^{2} y vem 6 x y.
  • De −x y^{3} vem −y^{3}.
  • A constante +2 desaparece.
    Logo,
∂f/∂x = 6 x y − y^3
Avaliando em (1,2):
∂f/∂x(1,2) = 6·1·2 − 2^3 = 12 − 8 = 4

Passo 3

Para calcular ∂f/∂y, tratamos x como constante e derivamos:
  • De 3 x^{2} y vem 3 x^{2}.
  • De −x y^{3} vem −3 x y^{2}.
  • A constante +2 some.
    Logo,
∂f/∂y = 3 x^2 − 3 x y^2
Avaliando em (1,2):
∂f/∂y(1,2) = 3·1^2 − 3·1·2^2 = 3 − 12 = -9

Resposta

∂f/∂x(1,2)=4 e ∂f/∂y(1,2)=-9

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