Determine a derivada de:
(d) f(x)=e^3 x arctg(2 x)

Passo 1

Beleza, vamos resolver a derivada da função . Aqui, estamos lidando com cálculo diferencial, especificamente com regras de derivação como a regra do produto e a regra da cadeia. Para resolver isso, vamos precisar entender como derivar funções exponenciais e funções trigonométricas inversas.

Passo 2

Primeiro, identificamos que f'(x) = u'(x) cdot v(x) + u(x) cdot v'(x) é o produto de duas funções: e . Quando temos o produto de duas funções, usamos a regra do produto para derivar:

Passo 3

Vamos encontrar u'(x) = 3 cdot e^3x . A função é uma função exponencial. A derivada de em relação a é . Então:

Passo 4

Agora, vamos derivar v'(x) = 21 + (2x)^2 = 21 + 4x^2 . A derivada de é . Aqui, , então . Aplicando a regra da cadeia:

Passo 5

Agora que temos f'(x) = u'(x) cdot v(x) + u(x) cdot v'(x) = 3e^3x cdot arctan(2x) + e^3x cdot 21 + 4x^2 e , podemos aplicar a regra do produto:

Resposta

A derivada de f'(x) = 3e^3x cdot arctan(2x) + 2e^3x1 + 4x^2 é:

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