Encontre o gradiente da função dada e o valor máximo da derivada direcional no ponto indicado: \mathrm{f}(\mathrm{x}, \mathrm{y})=\mathrm{x} \operatorname{tag}(\mathrm{y}) \quad \mathrm{p}\left(1, \frac{\pi}{4}\right),
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: (1) o gradiente da função dada e (2) o valor máximo da derivada direcional no ponto indicado. As informações fornecidas são:
f(x,y)=x\,\tan(y)
e o ponto
p\left(1,\frac{\pi}{4}\right).
Vou interpretar \operatorname{tag}(y) como \tan(y) (a tangente). O que precisamos entregar é \nabla f(1,\pi/4) e o maior valor possível de D_{\mathbf{u}}f(1,\pi/4) quando \mathbf{u} é um vetor unitário.
Passo 2
Lembrete didático: o gradiente de uma função de duas variáveis é o vetor das derivadas parciais. Ou seja,
\nabla f(x,y)=\big(f_x(x,y),\,f_y(x,y)\big),
onde f_x é a derivada parcial em relação a x (tratando y como constante) e f_y é a derivada parcial em relação a y (tratando x como constante). O gradiente aponta na direção de maior crescimento de f.
Passo 3
Calcular as derivadas parciais de f(x,y)=x\tan(y).
Derivada parcial em relação a x: como \tan(y) é constante quando derivamos em x,
f_x(x,y)=\tan(y).
Derivada parcial em relação a y: usamos que a derivada de \tan(y) é \operatorname{sec}^2(y)=\dfrac{1}{\cos^2(y)}. Uma verificação rápida: \tan(y)=\dfrac{\sin y}{\cos y} e aplicando a regra do quociente chega-se a \operatorname{sec}^2 y. Assim,
Agora a derivada direcional. Lembrete didático: a derivada direcional de f na direção de um vetor unitário \mathbf{u} é o produto escalar entre o gradiente e \mathbf{u}:
D_{\mathbf{u}}f(p)=\nabla f(p)\cdot\mathbf{u}.
Pelo desigualdade de Cauchy–Schwarz (ou pela interpretação geométrica), para \mathbf{u} unitário vale
Portanto o valor máximo da derivada direcional em p é o comprimento do gradiente em p, e esse máximo é atingido quando \mathbf{u} tem a mesma direção de \nabla f(p).
Calculemos o módulo de \nabla f\!\left(1,\frac{\pi}{4}\right)=(1,2):
Logo o valor máximo da derivada direcional em p é \sqrt{5}. (A direção que o atinge é o vetor unitário \big(\tfrac{1}{\sqrt{5}},\tfrac{2}{\sqrt{5}}\big).)
Resposta
\nabla f\!\left(1,\tfrac{\pi}{4}\right)=(1,2)\n
Valor máximo da derivada direcional em p: \sqrt{5}