Encontre o gradiente da função dada e o valor máximo da derivada direcional no ponto indicado:
\mathrm{f}(\mathrm{x}, \mathrm{y})=\mathrm{x} \operatorname{tag}(\mathrm{y}) \quad \mathrm{p}\left(1, \frac{\pi}{4}\right),

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: (1) o gradiente da função dada e (2) o valor máximo da derivada direcional no ponto indicado. As informações fornecidas são:
f(x,y)=x\,\tan(y)
e o ponto
p\left(1,\frac{\pi}{4}\right).
Vou interpretar \operatorname{tag}(y) como \tan(y) (a tangente). O que precisamos entregar é \nabla f(1,\pi/4) e o maior valor possível de D_{\mathbf{u}}f(1,\pi/4) quando \mathbf{u} é um vetor unitário.

Passo 2

Lembrete didático: o gradiente de uma função de duas variáveis é o vetor das derivadas parciais. Ou seja,
\nabla f(x,y)=\big(f_x(x,y),\,f_y(x,y)\big),
onde f_x é a derivada parcial em relação a x (tratando y como constante) e f_y é a derivada parcial em relação a y (tratando x como constante). O gradiente aponta na direção de maior crescimento de f.

Passo 3

Calcular as derivadas parciais de f(x,y)=x\tan(y).
Derivada parcial em relação a x: como \tan(y) é constante quando derivamos em x,
f_x(x,y)=\tan(y).
Derivada parcial em relação a y: usamos que a derivada de \tan(y) é \operatorname{sec}^2(y)=\dfrac{1}{\cos^2(y)}. Uma verificação rápida: \tan(y)=\dfrac{\sin y}{\cos y} e aplicando a regra do quociente chega-se a \operatorname{sec}^2 y. Assim,
f_y(x,y)=x\cdot\operatorname{sec}^2(y).
Portanto
\nabla f(x,y)=\big(\tan(y),\,x\operatorname{sec}^2(y)\big).

Passo 4

Avaliar o gradiente no ponto p\left(1,\frac{\pi}{4}\right). Calculemos as funções trigonométricas envolvidas:
\tan\!\left(\frac{\pi}{4}\right)=1, \qquad \operatorname{sec}^2\!\left(\frac{\pi}{4}\right)=\frac{1}{\cos^2\!\left(\frac{\pi}{4}\right)}.
Como \cos\!\left(\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}, temos
\operatorname{sec}\!\left(\frac{\pi}{4}\right)=\frac{1}{\cos(\pi/4)}=\sqrt{2}, \quad\text{logo}\quad \operatorname{sec}^2\!\left(\frac{\pi}{4}\right)=2.
Substituindo x=1 e y=\pi/4,
\nabla f\!\left(1,\frac{\pi}{4}\right)=\big(1,\,1\cdot 2\big)=(1,2).

Passo 5

Agora a derivada direcional. Lembrete didático: a derivada direcional de f na direção de um vetor unitário \mathbf{u} é o produto escalar entre o gradiente e \mathbf{u}:
D_{\mathbf{u}}f(p)=\nabla f(p)\cdot\mathbf{u}.
Pelo desigualdade de Cauchy–Schwarz (ou pela interpretação geométrica), para \mathbf{u} unitário vale
\nabla f(p)\cdot\mathbf{u}\le \|\nabla f(p)\|\,\|\mathbf{u}\|=\|\nabla f(p)\|.
Portanto o valor máximo da derivada direcional em p é o comprimento do gradiente em p, e esse máximo é atingido quando \mathbf{u} tem a mesma direção de \nabla f(p).
Calculemos o módulo de \nabla f\!\left(1,\frac{\pi}{4}\right)=(1,2):
\big\|\nabla f\!\left(1,\tfrac{\pi}{4}\right)\big\|=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}.
Logo o valor máximo da derivada direcional em p é \sqrt{5}. (A direção que o atinge é o vetor unitário \big(\tfrac{1}{\sqrt{5}},\tfrac{2}{\sqrt{5}}\big).)

Resposta

\nabla f\!\left(1,\tfrac{\pi}{4}\right)=(1,2)\n
Valor máximo da derivada direcional em p: \sqrt{5}

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