Determine a derivada direccional de
no ponto dado e na direção e sentido indicado pelo ângulo
direção de
em p.
Passo 1
O que o problema pede: determinar a derivada direccional de
no ponto indicado e na direção (e sentido) do vetor dado.\n
Informações fornecidas:
Informações fornecidas:
Passo 2
Definição precisa (intuição e símbolos): a derivada direccional de
em
na direção de um vetor unitário
é, por definição,
Explicando:
é o ponto onde avaliamos,
é o vetor de direção com norma
, e
é um pequeno passo ao longo dessa direção. Se o vetor de direção que você tem não for unitário, primeiro normaliza-se (dividindo pelo seu comprimento) para obter
. Essa definição é a forma “fundamental” — ela mede a taxa de variação de
quando você se desloca a partir de
na direção escolhida.
Passo 3
Fórmula prática usando gradiente (por que funciona): se
é diferenciável em
, então a derivada direccional pode ser obtida pelo produto escalar entre o gradiente de
em
e o vetor unitário
:
Aqui
. Essa fórmula é conveniente na prova porque transforma o limite numa conta direta com derivadas parciais e produto escalar.
Passo 4
Calcular as derivadas parciais de
: explique cada passo.
- Para
: tratamos como constante e derivamos em relação a . A derivada de é , e fica como constante multiplicativa. Logo
- Para
: tratamos como constante e derivamos em relação a . A derivada de é , então
Passo 5
Avaliar as parciais no ponto
. Primeiro use valores trigonométricos que você deve conhecer:
e
. Substituindo:
Portanto o gradiente em
é
Passo 6
Obter o vetor unitário na direção de
. Calcule a norma:
Como a norma já é
, o vetor unitário
nessa direção é simplesmente
(obs.: se a norma não fosse
, dividiríamos cada componente por
. Aqui não precisa.)
Passo 7
Calcular a derivada direccional usando o produto escalar. Usamos
Substituindo os valores:
Portanto a derivada direccional é
.
Passo 8
Verificação rápida com a definição de limite (para reforçar a compreensão): calcule
Como
, o quociente fica
Tomando o limite
, temos
, logo o limite é
, que coincide com o calculado pelo gradiente. Bom sinal!