Determine a derivada direccional de f no ponto dado e na direção e sentido indicado pelo ângulo \alpha e n a direção de \vec{v} em p.
f(x, y)=e^{x} \operatorname{sen}(y), \mathrm{p}\left(1, \frac{\pi}{3}\right), \vec{v}=-\vec{\imath}

Passo 1

O que o problema pede: determinar a derivada direccional de f no ponto indicado e na direção (e sentido) do vetor dado.\n
Informações fornecidas:
f(x,y)=e^{x}\sin(y),
p=\left(1,\frac{\pi}{3}\right),
\vec{v}=-\vec{\imath}=(-1,0).

Passo 2

Definição precisa (intuição e símbolos): a derivada direccional de f em p na direção de um vetor unitário \vec{u} é, por definição,
D_{\vec{u}}f(p)=\lim_{h\to 0}\frac{f(p+h\vec{u})-f(p)}{h}.
Explicando: p é o ponto onde avaliamos, \vec{u} é o vetor de direção com norma 1, e h é um pequeno passo ao longo dessa direção. Se o vetor de direção que você tem não for unitário, primeiro normaliza-se (dividindo pelo seu comprimento) para obter \vec{u}. Essa definição é a forma “fundamental” — ela mede a taxa de variação de f quando você se desloca a partir de p na direção escolhida.

Passo 3

Fórmula prática usando gradiente (por que funciona): se f é diferenciável em p, então a derivada direccional pode ser obtida pelo produto escalar entre o gradiente de f em p e o vetor unitário \vec{u}:
D_{\vec{u}}f(p)=\nabla f(p)\cdot \vec{u}.
Aqui \nabla f(p) = \left(\frac{\partial f}{\partial x}(p),\;\frac{\partial f}{\partial y}(p)\right). Essa fórmula é conveniente na prova porque transforma o limite numa conta direta com derivadas parciais e produto escalar.

Passo 4

Calcular as derivadas parciais de f: explique cada passo.
  • Para \frac{\partial f}{\partial x}: tratamos y como constante e derivamos e^{x}\sin(y) em relação a x. A derivada de e^{x} é e^{x}, e \sin(y) fica como constante multiplicativa. Logo
\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=e^{x}\sin(y).
  • Para \frac{\partial f}{\partial y}: tratamos x como constante e derivamos \sin(y) em relação a y. A derivada de \sin(y) é \cos(y), então
\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=e^{x}\cos(y).

Passo 5

Avaliar as parciais no ponto p=\left(1,\frac{\pi}{3}\right). Primeiro use valores trigonométricos que você deve conhecer: \sin\!\left(\frac{\pi}{3}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2} e \cos\!\left(\frac{\pi}{3}\right)=\frac{1}{2}. Substituindo:
\frac{\partial f}{\partial x}\!\left(1,\frac{\pi}{3}\right)=e^{1}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=e\frac{\sqrt{3}}{2},
\frac{\partial f}{\partial y}\!\left(1,\frac{\pi}{3}\right)=e^{1}\cdot\frac{1}{2}=e\frac{1}{2}.
Portanto o gradiente em p é
\nabla f\!\left(1,\frac{\pi}{3}\right)=\left(e\frac{\sqrt{3}}{2},\;e\frac{1}{2}\right).

Passo 6

Obter o vetor unitário na direção de \vec{v}=(-1,0). Calcule a norma:
\|\vec{v}\|=\sqrt{(-1)^{2}+0^{2}}=1.
Como a norma já é 1, o vetor unitário \vec{u} nessa direção é simplesmente
\vec{u}=(-1,0).
(obs.: se a norma não fosse 1, dividiríamos cada componente por \|\vec{v}\|. Aqui não precisa.)

Passo 7

Calcular a derivada direccional usando o produto escalar. Usamos
D_{\vec{u}}f(p)=\nabla f(p)\cdot \vec{u}.
Substituindo os valores:
D_{\vec{u}}f\!\left(1,\frac{\pi}{3}\right)=\left(e\frac{\sqrt{3}}{2},\;e\frac{1}{2}\right)\cdot(-1,0) = -1\cdot e\frac{\sqrt{3}}{2} + 0\cdot e\frac{1}{2} = -e\frac{\sqrt{3}}{2}.
Portanto a derivada direccional é -\dfrac{\sqrt{3}}{2}\,e.

Passo 8

Verificação rápida com a definição de limite (para reforçar a compreensão): calcule
\frac{f\big((1,\frac{\pi}{3})+h(-1,0)\big)-f(1,\frac{\pi}{3})}{h} =\frac{f(1-h,\frac{\pi}{3})-f(1,\frac{\pi}{3})}{h}.
Como f(1-h,\frac{\pi}{3})=e^{1-h}\sin\!\left(\frac{\pi}{3}\right)=e^{1-h}\frac{\sqrt{3}}{2}, o quociente fica
\frac{e^{1-h}\frac{\sqrt{3}}{2}-e^{1}\frac{\sqrt{3}}{2}}{h} =e\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot\frac{e^{-h}-1}{h}.
Tomando o limite h\to0, temos \lim_{h\to0}\frac{e^{-h}-1}{h}=-1, logo o limite é -e\frac{\sqrt{3}}{2}, que coincide com o calculado pelo gradiente. Bom sinal!

Resposta

-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\,e

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