Estude os extremos relativos das seguintes funções: f(x, y)=x^{3}-2 x^{2} y-x^{2}+4 y^{2}
Passo 1
O enunciado pede que eu estude os extremos relativos da função
f(x,y)=x^{3}-2x^{2}y-x^{2}+4y^{2}.
Ou seja: encontrar todos os pontos críticos (onde o gradiente é nulo) e classificar cada um como máximo relativo, mínimo relativo ou ponto de sela. Informações fornecidas: a expressão explícita de f(x,y) dada acima. Não há outras informações ou restrições.
Passo 2
Primeiro passo técnico: calcular as derivadas parciais primeiras de f. As derivadas parciais representam a taxa de variação de f quando variamos uma variável mantendo a outra fixa.
Calculo de \dfrac{\partial f}{\partial x}. Derivo termo a termo em relação a x, tratando y como constante:
\frac{\partial f}{\partial x}=3x^{2}-4xy-2x.
Observação do cálculo: \frac{d}{dx}(x^{3})=3x^{2}, \frac{d}{dx}(-2x^{2}y)=-4xy pois y é constante, e \frac{d}{dx}(-x^{2})=-2x; o termo 4y^{2} desaparece ao derivar em relação a x.
Calculo de \dfrac{\partial f}{\partial y}. Derivo em relação a y, tratando x como constante:
\frac{\partial f}{\partial y}=-2x^{2}+8y.
Observação do cálculo: \frac{d}{dy}(-2x^{2}y)=-2x^{2} (pois -2x^{2} é constante em y) e \frac{d}{dy}(4y^{2})=8y; os demais termos não dependem de y.
Como D\!\left(1,\tfrac{1}{4}\right)=8>0 e \dfrac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}\!\left(1,\tfrac{1}{4}\right)=3>0, temos mínimo relativo em \left(1,\tfrac{1}{4}\right).
Para ter o valor da função nesse mínimo, calculo f\left(1,\tfrac{1}{4}\right):
Resumo e observações finais (rápidas e motivadoras): encontrei três pontos críticos. Dois deles foram pontos de sela e um foi mínimo relativo. O teste das derivadas segundas (Hessiana) foi conclusivo para todos os pontos, então a classificação está determinada. Você já fez a parte mais chata — ótima! Fica só a memorização da regra do determinante da Hessiana e prática em aplicar.
Resposta
(0,0) — ponto de sela, f(0,0)=0. \left(1,\tfrac{1}{4}\right) — mínimo relativo, f\left(1,\tfrac{1}{4}\right)=-\tfrac{1}{4}. (2,1) — ponto de sela, f(2,1)=0.