Estude os extremos relativos das seguintes funções:
f(x, y)=x^{3}-2 x^{2} y-x^{2}+4 y^{2}

Passo 1

O enunciado pede que eu estude os extremos relativos da função
f(x,y)=x^{3}-2x^{2}y-x^{2}+4y^{2}.
Ou seja: encontrar todos os pontos críticos (onde o gradiente é nulo) e classificar cada um como máximo relativo, mínimo relativo ou ponto de sela. Informações fornecidas: a expressão explícita de f(x,y) dada acima. Não há outras informações ou restrições.

Passo 2

Primeiro passo técnico: calcular as derivadas parciais primeiras de f. As derivadas parciais representam a taxa de variação de f quando variamos uma variável mantendo a outra fixa.
Calculo de \dfrac{\partial f}{\partial x}. Derivo termo a termo em relação a x, tratando y como constante:
\frac{\partial f}{\partial x}=3x^{2}-4xy-2x.
Observação do cálculo: \frac{d}{dx}(x^{3})=3x^{2}, \frac{d}{dx}(-2x^{2}y)=-4xy pois y é constante, e \frac{d}{dx}(-x^{2})=-2x; o termo 4y^{2} desaparece ao derivar em relação a x.
Calculo de \dfrac{\partial f}{\partial y}. Derivo em relação a y, tratando x como constante:
\frac{\partial f}{\partial y}=-2x^{2}+8y.
Observação do cálculo: \frac{d}{dy}(-2x^{2}y)=-2x^{2} (pois -2x^{2} é constante em y) e \frac{d}{dy}(4y^{2})=8y; os demais termos não dependem de y.

Passo 3

Encontro os pontos críticos resolvendo o sistema
\begin{cases} \frac{\partial f}{\partial x}=0,\\[4pt] \frac{\partial f}{\partial y}=0. \end{cases}
Usando as expressões encontradas:
\begin{cases} 3x^{2}-4xy-2x=0,\\[4pt] -2x^{2}+8y=0. \end{cases}
Da segunda equação isolo y:
-2x^{2}+8y=0 \quad\Rightarrow\quad y=\frac{x^{2}}{4}.
Substituo y=\dfrac{x^{2}}{4} na primeira equação:
3x^{2}-4x\left(\frac{x^{2}}{4}\right)-2x=0.
Simplifico o produto -4x\cdot \dfrac{x^{2}}{4} = -x^{3}, então:
3x^{2}-x^{3}-2x=0.
Coloco em fator comum x:
x\bigl(-x^{2}+3x-2\bigr)=0.
Resolvendo os fatores: x=0 ou -x^{2}+3x-2=0. Multiplicando por -1 no segundo fator obtenho x^{2}-3x+2=0, que fatoriza:
(x-1)(x-2)=0,
portanto x=1 ou x=2.
Assim os valores de x possíveis são x=0,1,2. Calculando y=\dfrac{x^{2}}{4} para cada um:
\begin{aligned} x=0 &\Rightarrow y=0,\\\ x=1 &\Rightarrow y=\dfrac{1^{2}}{4}=\dfrac{1}{4},\\\ x=2 &\Rightarrow y=\dfrac{2^{2}}{4}=1. \end{aligned}
Logo, os pontos críticos são \,(0,0),\,(1,\tfrac{1}{4}),\,(2,1).]

Passo 4

Para classificar cada ponto crítico uso as segundas derivadas e o determinante da Hessiana. Primeiro calculo as derivadas segundas:
Derivo \dfrac{\partial f}{\partial x}=3x^{2}-4xy-2x em relação a x:
\frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}=6x-4y-2.
Derivo \dfrac{\partial f}{\partial y}=-2x^{2}+8y em relação a y:
\frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}}=8.
Derivo \dfrac{\partial f}{\partial x} em relação a y (ou \dfrac{\partial f}{\partial y} em relação a x):
\frac{\partial^{2} f}{\partial x\partial y}=\frac{\partial^{2} f}{\partial y\partial x}=-4x.
A matriz Hessiana é
H(x,y)=\begin{pmatrix} \frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}} & \frac{\partial^{2} f}{\partial x\partial y}\\[4pt] \frac{\partial^{2} f}{\partial y\partial x} & \frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6x-4y-2 & -4x\\[4pt] -4x & 8 \end{pmatrix}.
O determinante da Hessiana é
D(x,y)=\det H(x,y)=\bigl(6x-4y-2\bigr)\cdot 8 -(-4x)^{2}.
Simplificando:
D(x,y)=8(6x-4y-2)-16x^{2}=48x-32y-16-16x^{2}.
Regra de classificação (teste das derivadas segundas, para recapitular):
  • Se D(x_{0},y_{0})>0 e \dfrac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}(x_{0},y_{0})>0, então f tem mínimo relativo em (x_{0},y_{0}).
  • Se D(x_{0},y_{0})>0 e \dfrac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}(x_{0},y_{0})<0, então f tem máximo relativo em (x_{0},y_{0}).
  • Se D(x_{0},y_{0})<0, então (x_{0},y_{0}) é ponto de sela.
  • Se D(x_{0},y_{0})=0, o teste é inconclusivo.]

Passo 5

Avalio as quantidades em (0,0).
Calculo \dfrac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}(0,0)=6\cdot 0-4\cdot 0-2=-2.
Calculo D(0,0)=48\cdot 0-32\cdot 0-16-16\cdot 0^{2}=-16.
Como D(0,0)=-16<0, concluo que (0,0) é um ponto de sela.

Passo 6

Avalio as quantidades em \bigl(1,\tfrac{1}{4}\bigr).
Calculo \dfrac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}\!\left(1,\tfrac{1}{4}\right)=6\cdot 1-4\cdot \tfrac{1}{4}-2=6-1-2=3.
Calculo D\!\left(1,\tfrac{1}{4}\right)=48\cdot 1-32\cdot \tfrac{1}{4}-16-16\cdot 1^{2}. Faço passo a passo:
48\cdot 1=48,\quad 32\cdot \tfrac{1}{4}=8,\quad 16\cdot 1^{2}=16,
então
D\!\left(1,\tfrac{1}{4}\right)=48-8-16-16=8.
Como D\!\left(1,\tfrac{1}{4}\right)=8>0 e \dfrac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}\!\left(1,\tfrac{1}{4}\right)=3>0, temos mínimo relativo em \left(1,\tfrac{1}{4}\right).
Para ter o valor da função nesse mínimo, calculo f\left(1,\tfrac{1}{4}\right):
f\!\left(1,\tfrac{1}{4}\right)=1^{3}-2\cdot 1^{2}\cdot \tfrac{1}{4}-1^{2}+4\cdot\left(\tfrac{1}{4}\right)^{2}.
Passo a passo:
1^{3}=1,\quad -2\cdot 1^{2}\cdot \tfrac{1}{4}=-\tfrac{1}{2},\quad -1^{2}=-1,\quad 4\cdot\left(\tfrac{1}{4}\right)^{2}=4\cdot \tfrac{1}{16}=\tfrac{1}{4}.
Somando: 1-\tfrac{1}{2}-1+\tfrac{1}{4}=-\tfrac{1}{4}. Logo f\left(1,\tfrac{1}{4}\right)=-\dfrac{1}{4}.

Passo 7

Avalio as quantidades em (2,1).
Calculo \dfrac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}(2,1)=6\cdot 2-4\cdot 1-2=12-4-2=6.
Calculo D(2,1)=48\cdot 2-32\cdot 1-16-16\cdot 2^{2}. Passo a passo:
48\cdot 2=96,\quad 32\cdot 1=32,\quad 16\cdot 2^{2}=16\cdot 4=64,
então
D(2,1)=96-32-16-64=-16.
Como D(2,1)=-16<0, concluo que (2,1) é ponto de sela.
Calculo também f(2,1) por completude:
f(2,1)=2^{3}-2\cdot 2^{2}\cdot 1-2^{2}+4\cdot 1^{2}=8-8-4+4=0.

Passo 8

Resumo e observações finais (rápidas e motivadoras): encontrei três pontos críticos. Dois deles foram pontos de sela e um foi mínimo relativo. O teste das derivadas segundas (Hessiana) foi conclusivo para todos os pontos, então a classificação está determinada. Você já fez a parte mais chata — ótima! Fica só a memorização da regra do determinante da Hessiana e prática em aplicar.

Resposta

(0,0) — ponto de sela, f(0,0)=0.
\left(1,\tfrac{1}{4}\right) — mínimo relativo, f\left(1,\tfrac{1}{4}\right)=-\tfrac{1}{4}.
(2,1) — ponto de sela, f(2,1)=0.

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