Determine a derivada direcionada da função no ponto dado, na direção indicada.
f(x, y)=x^2 y^3+2 x^4 y, (1,-2), u=(513, 513)

Passo 1

O enunciado pede a derivada direcional de f(x,y)=x^2y^3+2x^4y no ponto (1,-2) na direção do vetor u=(5/13,5/13). Para isso vamos usar que a derivada direcional em direção a um vetor unitário e é
Def(P)=nabla f(P)cdot e,
ou seja, precisamos (1) calcular o gradiente de f, (2) avaliá-lo em (1,-2), (3) normalizar u para obter um vetor unitário e e (4) fazer o produto escalar nabla f(1,-2)cdote.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais de f:
partial fpartial x(x,y) =2x,y^3+8x^3y, partial fpartial y(x,y) =3x^2y^2+2x^4
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nabla f(x,y) =l(2x,y^3+8x^3y,;3x^2y^2+2x^4r)

Passo 3

Avaliando em (x,y)=(1,-2):
partial fpartial x(1,-2) =2cdot1cdot(-2)^3+8cdot1^3cdot(-2) =-16-16=-32,
partial fpartial y(1,-2) =3cdot1^2cdot(-2)^2+2cdot1^4 =3cdot4+2=12+2=14
Portanto
nabla f(1,-2)=(-32,,14)

Passo 4

O vetor dado é u=(5/13,5/13). Seu comprimento é
|u|=raizl(tfrac513r)^2+l(tfrac513r)^2 =5raiz213
O vetor unitário na direção de u é
e =u|u| =l(tfrac5/135raiz2/13,,tfrac5/135raiz2/13r) =l(tfrac1raiz2,,tfrac1raiz2r)

Passo 5

A derivada direcional é
Def(1,-2) =nabla f(1,-2)cdot e =(-32,,14)cdotl(tfrac1raiz2,tfrac1raiz2r) =-32+14raiz2 =-18raiz2 =-9raiz2

Resposta

Duf(1,-2)=-9raiz2

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