Use a derivação implícita para encontrar partial zpartial x e partial zpartial y
ln (x+y z)=x z+y z

Passo 1

Resumindo, temos a função implícita
lnl(x + y,z(x,y)r) = x,z(x,y) + y,z(x,y)
e queremos encontrar
partial zpartial x e
partial zpartial y
pela técnica de derivação implícita.

Passo 2

Diferenciando em relação a x (com y constante):
No lado esquerdo,
partialpartial xln(x + y,z) = 1x + y,z,partialpartial x(x + y,z) = 1 + y,zxx + y,z
No lado direito,
partialpartial x(x,z + y,z) = z + x,zx + y,zx = z + (x+y),zx

Passo 3

Igualando e isolando zx:
1 + y,zxx + y,z = z + (x+y),zx Longrightarrow 1 + y,zx = (x+y,z),z + (x+y,z),(x+y),zx
Longrightarrow; zxl[y - (x+y)(x+y,z)r] = (x+y,z),z - 1 Longrightarrow zx = (x+y,z),z - 1,y - (x+y)(x+y,z),

Passo 4

Agora, diferenciando em relação a y (com x constante):
No lado esquerdo,
partialpartial yln(x + y,z) = 1x + y,z,partialpartial y(x + y,z) = z + y,zyx + y,z
No lado direito,
partialpartial y(x,z + y,z) = x,zy + z + y,zy = z + (x+y),zy

Passo 5

Igualando e isolando zy:
z + y,zyx + y,z = z + (x+y),zy Longrightarrow z + y,zy = (x+y,z),z + (x+y,z),(x+y),zy
Longrightarrow; zyl[y - (x+y)(x+y,z)r] = (x+y,z),z - z = zl(x + y,z - 1r) Longrightarrow zy = zl(x + y,z - 1r),y - (x+y)(x+y,z),

Resposta

partial zpartial x = (x+y,z),z - 1,y - (x+y)(x+y,z),, partial zpartial y = zl(x + y,z - 1r),y - (x+y)(x+y,z),

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