Determine a derivada direcionada da função no ponto dado, na direção indicada.
f(x, y)=y ln x, (1,-3), v=(4,-3)

Passo 1

O enunciado pede a derivada direcional da função
f(x,y)=yln x
no ponto (1,-3) na direção do vetor v=(4,-3). Para isso, vamos usar o conceito de derivada direcional:
Duf(p)=nabla f(p)cdotu,
onde nabla f é o gradiente de f e u é o vetor unitário na direção de v.

Passo 2

Calcular as derivadas parciais de f:
partial fpartial x(x,y) =yx, partial fpartial y(x,y) =ln x

Passo 3

Avaliar essas derivadas no ponto (1,-3):
partial fpartial x(1,-3) =-31=-3, partial fpartial y(1,-3) =ln 1=0
Logo,
nabla f(1,-3)=(-3,,0)

Passo 4

Encontrar o vetor unitário u na direção de v=(4,-3). Primeiro, o módulo de v é
|v|=raiz4^2+(-3)^2=raiz16+9=5
Portanto,
u=v|v|=l(45,-35r)

Passo 5

Calcular a derivada direcional como produto escalar:
Duf(1,-3) =nabla f(1,-3)cdotu =(-3,0)cdotl(45,-35r) =-3cdot45+0cdotl(-35r) =-125

Resposta

-125

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