Determine a derivada direcionada da função no ponto dado, na direção indicada.
f(x, y, z)=x y^2 z^3, (1,-2,1), v=(1,1,1)

Passo 1

O enunciado pede a derivada direcional de
f(x,y,z)=x,y^2,z^3
no ponto P=(1,-2,1) na direção do vetor v=(1,1,1).
Para isso vamos usar o conceito de gradiente e o produto escalar com o vetor unitário na direção indicada.

Passo 2

Primeiro calculamos o gradiente de f, que é o vetor das derivadas parciais:
nabla f(x,y,z) = l(partial fpartial x,,partial fpartial y,,partial fpartial zr)
Como f(x,y,z)=x,y^2,z^3, temos
partial fpartial x=y^2,z^3, partial fpartial y=2,x,y,z^3, partial fpartial z=3,x,y^2,z^2

Passo 3

Agora avaliamos nabla f em P=(1,-2,1):
partial fpartial x|P=(-2)^2cdot1^3=4, partial fpartial y|P=2cdot1cdot(-2)cdot1^3=-4, partial fpartial z|P=3cdot1cdot(-2)^2cdot1^2=12
Portanto
nabla f(P)=(4,,-4,,12)

Passo 4

Precisamos do vetor unitário na direção de v=(1,1,1). A norma de v é
| v|=raiz1^2+1^2+1^2=raiz3,
logo o vetor unitário é
u= v| v| =l(tfrac1raiz3,,tfrac1raiz3,,tfrac1raiz3r)

Passo 5

A derivada direcional de f em P na direção de u é
D uf(P) =nabla f(P)cdot u =(4,,-4,,12)cdotl(tfrac1raiz3,,tfrac1raiz3,,tfrac1raiz3r)
Fazendo o produto escalar,
D uf(P) =4+(-4)+12raiz3 =12raiz3 =4raiz3

Resposta

A derivada direcional de f em (1,-2,1) na direção de (1,1,1) vale
4raiz3

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