Determine a derivada direcional de f(x, y, z)=x y^2-z em P(2,-1,1) na direção de v=lang<= 1,1,1rang<=.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo diferencial! A questão pede para encontrarmos a derivada direcional da função $ f(x, y, z) = x y^{2} - z $ no ponto $ P(2, -1, 1) $ na direção do vetor $ \mathbf{v} = \langle 1, 1, 1 \rangle $. Para isso, vamos precisar saber sobre derivadas direcionais, gradiente de uma função e como normalizar vetores.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar o gradiente da função $ f $. O gradiente é um vetor que contém todas as derivadas parciais de $ f $. Ou seja,
f
Vamos calcular cada derivada parcial:
f
nabla f = ( partial fpartial x, partial fpartial y, partial fpartial z )
partial fpartial x = y^2
Então, o gradiente de $ f $ é:
partial fpartial y = 2xy

Passo 3

Agora, vamos avaliar o gradiente no ponto $ P(2, -1, 1) $:
P(2, -1, 1)

Passo 4

Em seguida, precisamos normalizar o vetor direção $ \mathbf{v} = \langle 1, 1, 1 \rangle $. A normalização é importante porque a derivada direcional usa a direção do vetor, mas o tamanho deve ser 1. A fórmula para normalizar um vetor $ \mathbf{v} = \langle v_x, v_y, v_z \rangle $ é:
v = lang<= 1, 1, 1 rang<=
Onde $ ||\mathbf{v}|| $ é o comprimento do vetor, calculado por:
v = lang<= vx, vy, vz rang<=
Vamos calcular isso:
u = v||v||
Então, o vetor normalizado $ \mathbf{u} $ é:
||v||

Passo 5

Agora, a derivada direcional $ D_{\mathbf{u}} f $ é o produto escalar entre o gradiente de $ f $ no ponto $ P $ e o vetor normalizado $ \mathbf{u} $:
Du f
Vamos calcular isso:
f

Resposta

A derivada direcional de $ f $ em $ P(2, -1, 1) $ na direção de $ \mathbf{v} = \langle 1, 1, 1 \rangle $ é $ \boxed{, -\dfrac{4}{\sqrt{3}},} $.

Exercícios relacionados