Determine a derivada direcional de
na direção de
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo diferencial! A questão pede para encontrarmos a derivada direcional da função $ f(x, y, z) = x y^{2} - z $ no ponto $ P(2, -1, 1) $ na direção do vetor $ \mathbf{v} = \langle 1, 1, 1 \rangle $. Para isso, vamos precisar saber sobre derivadas direcionais, gradiente de uma função e como normalizar vetores.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar o gradiente da função $ f $. O gradiente é um vetor que contém todas as derivadas parciais de $ f $. Ou seja,
Vamos calcular cada derivada parcial:
Então, o gradiente de $ f $ é:
Passo 3
Agora, vamos avaliar o gradiente no ponto $ P(2, -1, 1) $:
Passo 4
Em seguida, precisamos normalizar o vetor direção $ \mathbf{v} = \langle 1, 1, 1 \rangle $. A normalização é importante porque a derivada direcional usa a direção do vetor, mas o tamanho deve ser 1. A fórmula para normalizar um vetor $ \mathbf{v} = \langle v_x, v_y, v_z \rangle $ é:
Onde $ ||\mathbf{v}|| $ é o comprimento do vetor, calculado por:
Vamos calcular isso:
Então, o vetor normalizado $ \mathbf{u} $ é:
Passo 5
Agora, a derivada direcional $ D_{\mathbf{u}} f $ é o produto escalar entre o gradiente de $ f $ no ponto $ P $ e o vetor normalizado $ \mathbf{u} $:
Vamos calcular isso:
Resposta
A derivada direcional de $ f $ em $ P(2, -1, 1) $ na direção de $ \mathbf{v} = \langle 1, 1, 1 \rangle $ é $ \boxed{, -\dfrac{4}{\sqrt{3}},} $.