Em que direção unitária a função
no ponto
tem taxa de variação máxima? Qual é a taxa de variação máxima?
Passo 1
Então, temos uma função de três variáveis
e queremos descobrir em qual direção unitária, no ponto
, a função cresce mais rápido. Para isso, vamos usar o conceito de derivada direcional e gradiente.
Passo 2
Primeiro, precisamos calcular o gradiente da função
. O gradiente é um vetor que aponta na direção de maior crescimento da função e é composto pelas derivadas parciais de
em relação a cada variável.
Vamos calcular cada derivada parcial:
Passo 3
Agora, avaliamos o gradiente no ponto
:
Passo 4
Para encontrar a direção unitária de máximo crescimento, normalizamos o gradiente. Isto é, dividimos o vetor gradiente pela sua magnitude.
Primeiro, calculamos a magnitude do gradiente:
Então, a direção unitária é:
Passo 5
A taxa máxima de variação da função na direção escolhida é igual à magnitude do gradiente:
Resposta
A direção unitária de máximo crescimento é
e a taxa de variação máxima é
.