Em que direção unitária a função f(x, y, z)=x y^2-z no ponto P(2,-1,1) tem taxa de variação máxima? Qual é a taxa de variação máxima?

Passo 1

Então, temos uma função de três variáveis f(x, y, z) = x y^2 - z e queremos descobrir em qual direção unitária, no ponto P(2, -1, 1) , a função cresce mais rápido. Para isso, vamos usar o conceito de derivada direcional e gradiente.

Passo 2

Primeiro, precisamos calcular o gradiente da função f . O gradiente é um vetor que aponta na direção de maior crescimento da função e é composto pelas derivadas parciais de f em relação a cada variável.
nabla f = ( partial fpartial x, partial fpartial y, partial fpartial z )
Vamos calcular cada derivada parcial:
partial fpartial x = y^2, partial fpartial y = 2xy, partial fpartial z = -1

Passo 3

Agora, avaliamos o gradiente no ponto P(2, -1, 1) :
nabla f(2, -1, 1) = ( (-1)^2, 2 times 2 times (-1), -1 ) = (1, -4, -1)

Passo 4

Para encontrar a direção unitária de máximo crescimento, normalizamos o gradiente. Isto é, dividimos o vetor gradiente pela sua magnitude.
Primeiro, calculamos a magnitude do gradiente:
|nabla f| = raiz1^2 + (-4)^2 + (-1)^2 = raiz1 + 16 + 1 = raiz18 = 3raiz2
Então, a direção unitária é:
u = nabla f|nabla f| = ( 13raiz2, -43raiz2, -13raiz2 )

Passo 5

A taxa máxima de variação da função na direção escolhida é igual à magnitude do gradiente:
Taxa máxima = |nabla f| = 3raiz2 á

Resposta

A direção unitária de máximo crescimento é ( dfrac13raiz2, dfrac-43raiz2, dfrac-13raiz2 ) e a taxa de variação máxima é 3raiz2 .

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