Determine os valores extremos de
na região descrita por
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os valores extremos da função
dentro da região que é descrita pela equação
. Aqui, estamos lidando com otimização, especificamente buscando os mínimos e máximos dessa função dentro de um disc aberto (o círculo de raio 1).
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que são valores extremos. Valores extremos de uma função são os mínimos e máximos que a função pode assumir dentro de um certo domínio. Para encontrar esses valores, normalmente a gente procura os pontos críticos, onde as derivadas parciais da função em relação a
e
são iguais a zero.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais da função
:
Agora, igualamos essas derivadas a zero para encontrar os pontos críticos:
Então, o único ponto crítico dentro da região é
.
Passo 4
Vamos avaliar a função nesse ponto crítico:
Esse é um mínimo local. Agora, precisamos verificar se existe algum máximo nessa região.
Passo 5
Observando a função
, percebemos que quanto mais nos afastamos do ponto
, maior é o valor de
. Porém, como a região é um disco aberto (
), não temos um limite superior claro dentro da região, já que podemos nos aproximar do limite
, mas sem alcançá-lo. Portanto, não há um máximo definido nessa região.
Resposta
O valor mínimo de
é 1, alcançado no ponto
. Não existe um valor máximo na região
.