Determine os valores extremos de f(x, y)=x^2+2 y^2+1 na região descrita por x^2+y^2<1.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os valores extremos da função f(x, y) = x^2 + 2y^2 + 1 dentro da região que é descrita pela equação x^2 + y^2 < 1 . Aqui, estamos lidando com otimização, especificamente buscando os mínimos e máximos dessa função dentro de um disc aberto (o círculo de raio 1).

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que são valores extremos. Valores extremos de uma função são os mínimos e máximos que a função pode assumir dentro de um certo domínio. Para encontrar esses valores, normalmente a gente procura os pontos críticos, onde as derivadas parciais da função em relação a x e y são iguais a zero.

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais da função f(x, y) :
partial fpartial x = 2x
partial fpartial y = 4y
Agora, igualamos essas derivadas a zero para encontrar os pontos críticos:
2x = 0 Rightarrow x = 0
4y = 0 Rightarrow y = 0
Então, o único ponto crítico dentro da região é (0, 0) .

Passo 4

Vamos avaliar a função nesse ponto crítico:
f(0, 0) = 0^2 + 2(0)^2 + 1 = 1
Esse é um mínimo local. Agora, precisamos verificar se existe algum máximo nessa região.

Passo 5

Observando a função f(x, y) = x^2 + 2y^2 + 1 , percebemos que quanto mais nos afastamos do ponto (0, 0) , maior é o valor de f(x, y) . Porém, como a região é um disco aberto ( x^2 + y^2 < 1 ), não temos um limite superior claro dentro da região, já que podemos nos aproximar do limite x^2 + y^2 = 1 , mas sem alcançá-lo. Portanto, não há um máximo definido nessa região.

Resposta

O valor mínimo de f(x, y) é 1, alcançado no ponto (0, 0) . Não existe um valor máximo na região x^2 + y^2 < 1 .

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