Seja x0 um ponto singular para a equação diferencial y^prime prime+P(x) y^prime+Q(x) y=0. Dizemos que x0 é um ponto singular regular se (x-x0) P(x) é anaítica em x0 e (x-x0)^2 Q(x) é analítica em x0, isto é, se a singularidade dos coeficientes P(x) e Q(x) pode ser removida pela multiplicação, respectivamente, por (x-x0) e (x-x0)^2. Com esta definição classifique os pontos singulares em regulares ou não regulares:
(1-x^2) y^prime prime-2 x y^prime+6 y=0

Passo 1

O enunciado pede para a equação
(1 - x^2),y'' - 2x,y' + 6,y = 0
ser posta em forma padrão
y'' + P(x),y' + Q(x),y = 0
e, em seguida, identificar os pontos singulares e verificar neles se
(x - x0),P(x) e (x - x0)^2,Q(x) são analíticas. Um ponto singulare x0 é regular se essas quantidades não têm pólos em x0.

Passo 2

Dividindo por 1 - x^2 obtemos
y'' + -2x1 - x^2,y' + 61 - x^2,y = 0,
logo
P(x) = -2x1 - x^2, Q(x) = 61 - x^2

Passo 3

Os pontos singulares surgem quando 1 - x^2 = 0, ou seja
x0 = 1 e x0 = -1

Passo 4

Verificando em x0 = 1:
P(x) = -2x1 - x^2 = 2x(x-1)(x+1),
então
(x-1),P(x) = 2xx+1,
que é analítica em x=1. E
Q(x) = 61 - x^2 = -6(x-1)(x+1),
(x-1)^2,Q(x) = -6(x-1)x+1,
também analítica em x=1. Logo x=1 é singular regular.

Passo 5

Verificando em x0 = -1:
P(x) = 2x(x-1)(x+1), (x+1),P(x) = 2xx-1,
analítica em x=-1. E
Q(x) = -6(x-1)(x+1), (x+1)^2,Q(x) = -6(x+1)x-1,
também analítica em x=-1. Logo x=-1 é singular regular.

Resposta

Os pontos singulares x = 1 e x = -1 são ambos regulares.

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