Seja x0 um ponto singular para a equação diferencial y^prime prime+P(x) y^prime+Q(x) y=0. Dizemos que x0 é um ponto singular regular se (x-x0) P(x) é anaítica em x0 e (x-x0)^2 Q(x) é analítica em x0, isto é, se a singularidade dos coeficientes P(x) e Q(x) pode ser removida pela multiplicação, respectivamente, por (x-x0) e (x-x0)^2. Com esta definição classifique os pontos singulares em regulares ou não regulares:
(x-1)(x^2-4)^2 y^prime prime+(x-1)(x-2) y^prime+y=0

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
(x-1),(x^2-4)^2,y'' + (x-1)(x-2),y' + y = 0
e pede para classificar os pontos singulares como regulares ou não regulares. O conteúdo aqui é a teoria de pontos singulares de equações lineares de segunda ordem, e para resolver precisamos:
– Reescrever na forma
y'' + P(x),y' + Q(x),y = 0,
– Identificar os pontos singulares (raízes do coeficiente de y''),
– Verificar para cada x0 se (x-x0),P(x) e (x-x0)^2,Q(x) são analíticas em x0.

Passo 2

Dividindo tudo por (x-1)(x^2-4)^2, obtemos a forma padrão:
y'' + P(x),y' + Q(x),y = 0,
com
P(x) = (x-1)(x-2)(x-1)(x^2-4)^2 = x-2(x^2-4)^2,
Q(x) = 1(x-1)(x^2-4)^2

Passo 3

Os pontos singulares são as raízes de (x-1)(x^2-4)^2=0, ou seja
x0 = 1, x0 = 2, x0 = -2

Passo 4

Analisando x0=1:
(x-1),P(x) = (x-1)(x-2)(x^2-4)^2, (x-1)^2,Q(x) = (x-1)^2(x-1)(x^2-4)^2 = x-1(x^2-4)^2
Em x=1 o denominador (x^2-4)^2|x=1=9neq0, e numeradores vão a zero sem gerar divisão por zero. Portanto ambas as funções são analíticas em x=1, logo é singular regular.

Passo 5

Analisando x0=2:
(x-2),P(x) = x-2(x^2-4)^2,(x-2) = (x-2)^2(x^2-4)^2 = 1(x+2)^2,
(x-2)^2,Q(x) = (x-2)^2(x-1)(x^2-4)^2 = 1(x-1)(x+2)^2
Em x=2 os denominadores (x+2)^2 e (x-1)(x+2)^2 são não nulos, logo são analíticas. Assim x=2 é singular regular.

Passo 6

Analisando x0=-2:
(x+2),P(x) = (x+2),x-2(x^2-4)^2 = x-2(x-2)^2,(x+2) = 1(x-2),(x+2),
que em x=-2 tem denominador nulo (ainda dá pólo de ordem 1). Portanto (x+2),P(x) não é analítica em -2, o que basta para concluir que x=-2 é singular irregular.

Resposta

x =1: ponto singular regular
x =2: ponto singular regular
x = 2: ponto singular irregular

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