Seja C a curva com equação x = 2 - t^3, y = 2t - 1, z = ln(t). Encontre (a) o ponto em que C intersecta o plano x z,
(b) as equações paramétricas da reta tangente em (1, 1, 0), e
© uma equação do plano normal ao C em(1,1,0).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma curva definida por três equações paramétricas:
O exercício está dividido em três partes:
a) Encontrar o ponto onde a curva intersecta o plano .
b) Encontrar as equações paramétricas da reta tangente à curva no ponto .
c) Encontrar uma equação do plano normal à curva no ponto .
Vamos precisar de conhecimentos sobre interseção de curvas com planos, cálculo de derivadas para achar a reta tangente, e conceitos de vetores normais para encontrar o plano normal. Vamos passo a passo!

Passo 2

Parte a: Encontrar o ponto de interseção com o plano .
O plano é definido por . Então, para encontrar onde a curva intersecta esse plano, precisamos encontrar o valor de que faz .
Da equação de :
Agora que temos , substituímos esse valor nas equações de e :
Portanto, o ponto de interseção é .

Passo 3

Parte b: Encontrar as equações paramétricas da reta tangente no ponto .
Primeiro, precisamos confirmar qual valor de corresponde ao ponto .
Da equação de :
Agora, encontramos a derivada de cada componente em relação a para obter o vetor tangente:
No :
Então, o vetor tangente é .
As equações paramétricas da reta tangente podem ser escritas usando o ponto e o vetor :

Passo 4

Parte c: Encontrar uma equação do plano normal à curva no ponto .
O plano normal à curva no ponto dado é perpendicular ao vetor tangente naquele ponto. Já sabemos que o vetor tangente é .
A equação geral de um plano é:
Onde são as componentes do vetor normal, e é o ponto pelo qual o plano passa.
Aqui, o vetor normal é e o ponto é . Substituindo:
Distribuindo:
Podemos escrever de forma mais simples:

Resposta

a) O ponto de interseção é .
b) As equações paramétricas da reta tangente são:
c) Uma equação do plano normal é .

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