Determine a derivada direcional de f no ponto dado e na direção indicada pelo ângulo theta :
f(x, y)=y e^-x,(0,4), theta=pi / 6.

Passo 1

Nesse exercício a gente vai calcular a derivada direcional da função f(x,y)=y e^-x no ponto (0,4) na direção dada pelo ângulo theta=pi/6. Esse conteúdo faz parte de derivadas direcionais e gradiente. Para resolver, vamos usar que a derivada direcional na direção de um vetor unitário u é o produto escalar entre nabla f e u.

Passo 2

Vamos calcular o gradiente de f. Lembrando que o gradiente é o vetor das derivadas parciais:
nabla f(x,y)=(partial fpartial x,,partial fpartial y)
Derivando f(x,y)=y e^-x:
partial fpartial x=-y e^-x,
partial fpartial y=e^-x

Passo 3

Agora avaliamos o gradiente em (0,4). Como e^0=1, temos:
nabla f(0,4)=(-4cdot 1,,1) = (-4,,1)

Passo 4

Precisamos do vetor unitário na direção de theta=pi/6. Esse vetor é:
;u=(costheta,,sintheta)=l(raiz32,,12r)

Passo 5

Por fim, a derivada direcional é o produto escalar nabla f(0,4)cdot u. Então:
Duf(0,4)=(-4,1)cdotl(raiz32,,12r) =-4cdotraiz32+1cdot12 =-2raiz3+12

Resposta

-2raiz3+tfrac12

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