Determine a derivada direcional de f no ponto dado e na direção indicada pelo ângulo
:
.
Passo 1
Nesse exercício a gente vai calcular a derivada direcional da função
no ponto
na direção dada pelo ângulo
. Esse conteúdo faz parte de derivadas direcionais e gradiente. Para resolver, vamos usar que a derivada direcional na direção de um vetor unitário
é o produto escalar entre
e
.
Passo 2
Vamos calcular o gradiente de
. Lembrando que o gradiente é o vetor das derivadas parciais:
Derivando
:
Passo 3
Agora avaliamos o gradiente em
. Como
, temos:
Passo 4
Precisamos do vetor unitário na direção de
. Esse vetor é:
Passo 5
Por fim, a derivada direcional é o produto escalar
. Então: