Determine a derivada direcional de f no ponto dado e na direção indicada pelo ângulo
\theta.
f(x, y)=x y^3-x^2, (1,2), theta=pi / 3
(a) Determine o gradiente de f.
(b) Calcule o gradiente no ponto P.
(c) Determine a taxa de variação de f em P na direção do vetor u.

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x,y)=x y^3-x^2
e o ponto P=(1,2), mais o ângulo theta=pi/3. Pede:
(a) o gradiente de f;
(b) o valor do gradiente em P;
(c) a taxa de variação de f em P na direção do vetor unitário u ligado a theta.
Para resolver usamos derivadas parciais para montar nabla f, depois avaliamos em P e aplicamos a fórmula da derivada direcional
Duf(P)=nabla f(P)cdotu,
onde u=(costheta,sintheta).

Passo 2

Calcular as derivadas parciais de f.
A derivada parcial em relação a x é
fx(x,y)=partialpartial xl(x y^3 - x^2r)=y^3 - 2x,
e a derivada parcial em relação a y é
fy(x,y)=partialpartial yl(x y^3 - x^2r)=3x,y^2
Logo o gradiente é
nabla f(x,y)=l(y^3 - 2x,;3x,y^2r)

Passo 3

Avaliar o gradiente em P=(1,2).
Substituindo x=1 e y=2 em fx e fy, temos
fx(1,2)=2^3-2cdot1=8-2=6,
fy(1,2)=3cdot1cdot2^2=3cdot4=12
Portanto
labelgradP nabla f(1,2)=(6,12)

Passo 4

Determinar o vetor unitário u associado ao ângulo theta=pi/3:
u=(costheta,sintheta)=l(12,;raiz32r)

Passo 5

Calcular a derivada direcional em P na direção u:
Duf(1,2)=nabla f(1,2)cdotu =(6,12)cdotl(tfrac12,tfracraiz32r) =6cdottfrac12+12cdottfracraiz32 =3+6raiz3

Resposta

(a) nabla f(x,y)=(y^3-2x,;3x,y^2)
(b) nabla f(1,2)=(6,12)
(c) Duf(1,2)=3+6raiz3

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