Determine a derivada direcional de
no ponto dado e na direção indicada pelo ângulo
\theta.
(a) Determine o gradiente
.
(b) Calcule o gradiente no ponto
.
(c) Determine a taxa de variação de
em
na direção do vetor
.
\theta.
(a) Determine o gradiente
(b) Calcule o gradiente no ponto
(c) Determine a taxa de variação de
Passo 1
O enunciado dá a função
e o ponto
, mais o ângulo
. Pede:
(a) o gradiente de ;
(b) o valor do gradiente em ;
(c) a taxa de variação de em
na direção do vetor unitário
ligado a
.
Para resolver usamos derivadas parciais para montar , depois avaliamos em
e aplicamos a fórmula da derivada direcional
(a) o gradiente de
(b) o valor do gradiente em
(c) a taxa de variação de
Para resolver usamos derivadas parciais para montar
onde
.
Passo 2
Calcular as derivadas parciais de
.
A derivada parcial em relação a é
A derivada parcial em relação a
e a derivada parcial em relação a
é
Logo o gradiente é
Passo 3
Avaliar o gradiente em
.
Substituindo e
em
e
, temos
Substituindo
Portanto
Passo 4
Determinar o vetor unitário
associado ao ângulo
:
Passo 5
Calcular a derivada direcional em
na direção
:
Resposta
(a)
(b)
(c)
(b)
(c)