• Questão 14. Calcule as derivadas das funções abaixo
    g(x)=raiz[3]xcos (x^2)

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
g(x)=raiz[3]xcosl(x^2r)
Aqui vamos usar a regra do quociente junto com a regra da cadeia e a regra da potência para derivar raiz[3]x=x^1/3.

Passo 2

Definimos as funções
u(x)=x^1/3, v(x)=cosl(x^2r)
Então
u'(x)=13,x^-2/3, v'(x)=-sinl(x^2r)cdot 2x=-2x,sinl(x^2r)

Passo 3

Pela regra do quociente,
g'(x) =u'(x),v(x)-u(x),v'(x)[v(x)]^2 =13x^-2/3cosl(x^2r) -x^1/3l(-2xsinl(x^2r)r)cos^2l(x^2r)

Passo 4

Agora simplificamos o numerador:
13x^-2/3cosl(x^2r) +2x^4/3sinl(x^2r)
Logo
g'(x) =13x^-2/3cosl(x^2r) +2x^4/3sinl(x^2r)cos^2l(x^2r) =x^-2/3l(tfrac13cos(x^2)+2x^2sin(x^2)r) cos^2(x^2)

Resposta

g'(x) =13x^-2/3cosl(x^2r) +2x^4/3sinl(x^2r)cos^2l(x^2r) =x^-2/3l(tfrac13cos(x^2)+2x^2sin(x^2)r) cos^2(x^2)

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