• Questão 14. Calcule as derivadas das funções abaixo
    u=(t^2+cotan t^2)^3

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
u=l(t^2+cot(t^2)r)^3.
Aqui vamos usar a regra da cadeia para funções compostas e a derivada de cot(x).

Passo 2

Definimos a função interna
v(t)=t^2+cot(t^2)
e a função externa
f(v)=v^3.
Então u=fl(v(t)r).

Passo 3

Derivada da função externa em relação a v:
f'(v)=3v^2

Passo 4

Derivada da função interna em relação a t:
a derivada de t^2 é 2t e a derivada de cot(t^2) é
ddtl[cot(t^2)r] =-csc^2(t^2)cdot 2t
Logo,
v'(t)=2t-2t,csc^2(t^2) =2tl(1-csc^2(t^2)r)

Passo 5

Aplicando a regra da cadeia u'=f'(v)cdot v' obtemos
u' =3l(t^2+cot(t^2)r)^2 ;times; 2tl(1-csc^2(t^2)r)
Simplificando,
u'=6tl(t^2+cot(t^2)r)^2l(1-csc^2(t^2)r)

Resposta

u'=6tl(t^2+cot(t^2)r)^2l(1-csc^2(t^2)r)

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