Determine a derivada direcional de f no ponto dado e na direção indicada pelo ângulo \theta.
f(x, y)=\ln \left(x^{2}+y^{2}\right), \quad(2,1), \quad \overrightarrow{\boldsymbol{v}}=(-1,2).

Passo 1

O enunciado pede a derivada direcional de
f(x,y)=\ln\!\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr)
no ponto (2,1) na direção do vetor \overrightarrow{v}=(-1,2).
O conteúdo utilizado será o conceito de gradiente e a definição
D_{\mathbf{u}}f(P)=\nabla f(P)\cdot\mathbf{u},
onde \mathbf{u} é o vetor unitário na direção de \overrightarrow{v}.

Passo 2

Calcular o gradiente de f.
Como
f(x,y)=\ln\!\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr),
temos
\frac{\partial f}{\partial x} =\frac{1}{x^{2}+y^{2}}\cdot 2x =\frac{2x}{x^{2}+y^{2}},
\frac{\partial f}{\partial y} =\frac{1}{x^{2}+y^{2}}\cdot 2y =\frac{2y}{x^{2}+y^{2}}.
Logo,
\nabla f(x,y) =\biggl(\frac{2x}{x^{2}+y^{2}},\;\frac{2y}{x^{2}+y^{2}}\biggr).

Passo 3

Avaliar \nabla f em (2,1).
Substituindo x=2 e y=1 em \nabla f(x,y)
\nabla f(2,1) =\biggl(\frac{2\cdot2}{2^{2}+1^{2}},\;\frac{2\cdot1}{2^{2}+1^{2}}\biggr) =\biggl(\frac{4}{5},\;\frac{2}{5}\biggr).

Passo 4

Encontrar o vetor unitário \mathbf{u} na direção de \overrightarrow{v}=(-1,2).
O módulo de \overrightarrow{v} é
\|\overrightarrow{v}\| =\sqrt{(-1)^{2}+2^{2}} =\sqrt{5},
então
\mathbf{u} =\frac{1}{\sqrt{5}}\,(-1,2) =\Bigl(-\tfrac{1}{\sqrt{5}},\;\tfrac{2}{\sqrt{5}}\Bigr).

Passo 5

Calcular a derivada direcional como produto interno:
D_{\mathbf{u}}f(2,1) =\nabla f(2,1)\cdot \mathbf{u} =\Bigl(\tfrac{4}{5},\tfrac{2}{5}\Bigr)\cdot \Bigl(-\tfrac{1}{\sqrt{5}},\tfrac{2}{\sqrt{5}}\Bigr).
Fazendo o produto escalar:
D_{\mathbf{u}}f(2,1) =\frac{4}{5}\,\Bigl(-\frac{1}{\sqrt{5}}\Bigr) +\frac{2}{5}\,\Bigl(\frac{2}{\sqrt{5}}\Bigr) =\frac{-4+4}{5\sqrt{5}} =0.

Resposta

A derivada direcional de f no ponto (2,1) na direção de \overrightarrow{v}=(-1,2) é 0.

Exercícios relacionados