Determine a derivada direcional de f no ponto dado e na direção indicada pelo ângulo \theta.
f(x, y)=x^{4}-x^{2} y^{3}, \quad(2,1), \quad \overrightarrow{\boldsymbol{v}}=(1,3).

Passo 1

O enunciado pede a derivada direcional de f(x,y)=x^{4}-x^{2}y^{3}
no ponto (2,1) na direção do vetor \overrightarrow{v}=(1,3).
Para isso, vamos usar que a derivada direcional nessa direção é
D_{\mathbf u}f(2,1)=\nabla f(2,1)\cdot\mathbf u,
onde \nabla f é o gradiente de f e \mathbf u é o vetor unitário na direção de \overrightarrow{v}.

Passo 2

Vamos calcular o gradiente de f. Por definição,
\nabla f(x,y) = \Bigl(\frac{\partial f}{\partial x},\,\frac{\partial f}{\partial y}\Bigr).
Temos \displaystyle \frac{\partial f}{\partial x} =4x^{3}-2x\,y^{3}
e \displaystyle \frac{\partial f}{\partial y} =-3x^{2}y^{2}.

Passo 3

Agora avaliamos o gradiente em (2,1): \displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}(2,1) =4\cdot2^{3}-2\cdot2\cdot1^{3} =32-4=28, \displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}(2,1) =-3\cdot2^{2}\cdot1^{2} =-12.
Logo
\nabla f(2,1)=(28,\,-12).

Passo 4

Precisamos do vetor unitário \mathbf u na direção de \overrightarrow{v}=(1,3).
O comprimento de \overrightarrow{v} é
\|\overrightarrow{v}\| =\sqrt{1^{2}+3^{2}} =\sqrt{10}.
Assim
\mathbf u =\frac{\overrightarrow{v}}{\|\overrightarrow{v}\|} =\Bigl(\tfrac{1}{\sqrt{10}},\,\tfrac{3}{\sqrt{10}}\Bigr).

Passo 5

A derivada direcional é o produto escalar
D_{\mathbf u}f(2,1) =\nabla f(2,1)\cdot\mathbf u =(28,\,-12)\cdot\Bigl(\tfrac{1}{\sqrt{10}},\,\tfrac{3}{\sqrt{10}}\Bigr) =\frac{28-36}{\sqrt{10}} =\,-\frac{8}{\sqrt{10}} =\,-\frac{4\sqrt{10}}{5}.

Resposta

D_{\mathbf u}f(2,1)=-\frac{8}{\sqrt{10}} \quad\bigl(\text{ou }-\tfrac{4\sqrt{10}}{5}\bigr).

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