Nos itens abaixo, efetue a antidiferenciação(integrais indefinidas).
integral sen^3(y) d y

Passo 1

O enunciado pede a antiderivada da função sin^3(y), isto é, calcular
integral sin^3(y),dy
Este é um caso de integral de potência ímpar de seno, e vamos usar a identidade trigonométrica e uma substituição simples para resolver.

Passo 2

Reescrevemos sin^3(y) extraindo um sin(y) para facilitar a substituição:
sin^3(y) = sin^2(y),sin(y) = l(1 - cos^2(y)r),sin(y)

Passo 3

Fazemos a substituição
u = cos(y), du = -sin(y),dy Longrightarrow sin(y),dy = -,du
Assim a integral se transforma em
integral sin^3(y),dy = integral l(1 - cos^2(y)r),sin(y),dy = integral l(1 - u^2r),(-du)

Passo 4

Retirando o sinal negativo para fora,
integral l(1 - u^2r),(-du) = -integral l(1 - u^2r),du = -integral 1,du + integral u^2,du
Agora integramos termo a termo:
-integral 1,du = -u, integral u^2,du = u^33
Portanto
-integral l(1 - u^2r),du = -u + u^33 + C

Passo 5

Voltando à variável original y ( u = cos(y)), obtemos
integral sin^3(y),dy = -cos(y) + cos^3(y)3 + C

Resposta

integral sin^3(y),dy = -cos(y) + cos^3(y)3 + C

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