Nos problemas a seguir, verifique que a função
dada é solução explícita da equação diferencial dada. Admita um intervalo de solução apropriado.
c)
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Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa verificar se a função
é solução da equação diferencial
. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo, como derivadas, e entender como elas se aplicam em equações diferenciais. Vamos precisar calcular a primeira e a segunda derivadas da função
e depois substituir na equação para ver se tudo confere.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a primeira derivada de
. Para isso, usamos a regra do produto, que é usada quando temos a derivada de um produto de duas funções. A regra diz que
.
Então, temos:
Calculando as derivadas individuais:
Substituindo de volta:
Passo 3
Agora, vamos calcular a segunda derivada
. Novamente, usamos a regra do produto para cada termo da primeira derivada.
Primeiro, derivamos
:
Segundo, derivamos
:
Somando as duas partes:
Passo 4
Agora que temos
,
e
, vamos substituir na equação diferencial
.
Substituindo:
Vamos simplificar cada parte:
Agora, vamos somar os termos semelhantes:
Resposta
Portanto, substituindo
na equação diferencial, obtemos
, o que confirma que
é realmente uma solução da equação
.