Nos problemas a seguir, verifique que a função varphi dada é solução explícita da equação diferencial dada. Admita um intervalo de solução apropriado.
c) y^prime prime-6 y^prime+13 y=0 ; varphi(x)=e^3 x cos 2 x

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa verificar se a função varphi(x) = e^3x cos 2x é solução da equação diferencial y'' - 6y' + 13y = 0. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo, como derivadas, e entender como elas se aplicam em equações diferenciais. Vamos precisar calcular a primeira e a segunda derivadas da função varphi(x) e depois substituir na equação para ver se tudo confere.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a primeira derivada de varphi(x) = e^3x cos 2x. Para isso, usamos a regra do produto, que é usada quando temos a derivada de um produto de duas funções. A regra diz que (fg)' = f'g + fg'.
Então, temos:
varphi'(x) = ddx(e^3x) cdot cos 2x + e^3x cdot ddx(cos 2x)
Calculando as derivadas individuais:
ddx(e^3x) = 3e^3x
ddx(cos 2x) = -2sin 2x
Substituindo de volta:
varphi'(x) = 3e^3x cos 2x - 2e^3x sin 2x

Passo 3

Agora, vamos calcular a segunda derivada varphi''(x). Novamente, usamos a regra do produto para cada termo da primeira derivada.
Primeiro, derivamos 3e^3x cos 2x:
ddx(3e^3x cos 2x) = 3 cdot 3e^3x cos 2x + 3e^3x cdot (-2sin 2x) = 9e^3x cos 2x - 6e^3x sin 2x
Segundo, derivamos -2e^3x sin 2x:
ddx(-2e^3x sin 2x) = -2 cdot 3e^3x sin 2x + (-2)e^3x cdot 2cos 2x) = -6e^3x sin 2x - 4e^3x cos 2x
Somando as duas partes:
varphi''(x) = (9e^3x cos 2x - 6e^3x sin 2x) + (-6e^3x sin 2x - 4e^3x cos 2x) = 5e^3x cos 2x - 12e^3x sin 2x

Passo 4

Agora que temos varphi(x) , varphi'(x) e varphi''(x) , vamos substituir na equação diferencial y'' - 6y' + 13y = 0 .
Substituindo:
varphi''(x) - 6varphi'(x) + 13varphi(x) = (5e^3x cos 2x - 12e^3x sin 2x) - 6(3e^3x cos 2x - 2e^3x sin 2x) + 13(e^3x cos 2x)
Vamos simplificar cada parte:
= 5e^3x cos 2x - 12e^3x sin 2x - 18e^3x cos 2x + 12e^3x sin 2x + 13e^3x cos 2x
Agora, vamos somar os termos semelhantes:
(5 - 18 + 13)e^3x cos 2x + (-12 + 12)e^3x sin 2x = 0e^3x cos 2x + 0e^3x sin 2x = 0

Resposta

Portanto, substituindo varphi(x) na equação diferencial, obtemos 0, o que confirma que varphi(x) = e^3x cos 2x é realmente uma solução da equação y'' - 6y' + 13y = 0.

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