Determine a derivada direcional da função z=e^{x} \cos y, no ponto (0,0) e na direção em que faz com o eixo dos x um ângulo de 60^{\circ}.

Passo 1

O enunciado dá a função z=e^{x}\cos y, o ponto onde queremos a derivada direcional: (0,0), e a direção que forma com o eixo x um ângulo de 60^\circ.
O que é pedido: calcular a derivada direcional de z no ponto (0,0) na direção indicada.

Passo 2

O que é derivada direcional (intuição e fórmulas): dado f(x,y) e um ponto P=(x_0,y_0), a derivada direcional de f em P na direção do vetor unitário u=(u_1,u_2) é a taxa de variação de f quando nos movemos a partir de P na direção u. Duas formas equivalentes e úteis para calculá-la são:
  1. Definição pelo limite:
D_{u}f(P)=\lim_{h\to0}\frac{f(P+h\,u)-f(P)}{h}.
Isto é a definição direta como derivada de função de uma variável ao longo de uma reta.
  1. Uso do gradiente (quando f é diferenciável):
D_{u}f(P)=\nabla f(P)\cdot u,
onde \nabla f(P)=(f_x(P),f_y(P)) é o vetor gradiente (as derivadas parciais) e \cdot é o produto escalar. Esta fórmula normalmente é a mais prática na prova, porque basta calcular as parciais e fazer um produto escalar com o vetor unitário da direção.
Vou usar a fórmula com o gradiente porque a função f(x,y)=e^{x}\cos y é suave (diferenciável) e isso torna os cálculos curtos.

Passo 3

Encontrar o vetor unitário da direção que faz 60^\circ com o eixo x. Um vetor de direção com ângulo \theta tem componentes (\cos\theta,\sin\theta), e esse já é unitário. Aqui \theta=60^\circ, então
u=\big(\cos 60^\circ,\sin 60^\circ\big)=\left(\tfrac{1}{2},\tfrac{\sqrt{3}}{2}\right).
Confirmamos que \sqrt{(\tfrac{1}{2})^2+(\tfrac{\sqrt{3}}{2})^2}=1, então u é de fato unitário.

Passo 4

Calcular as derivadas parciais de f(x,y)=e^{x}\cos y.
  • Derivada parcial em relação a x: ao derivar em x tratamos y como constante. A função é produto e^{x}\cdot\cos y, mas \cos y é constante em relação a x. Assim
f_x(x,y)=\frac{\partial}{\partial x}\big(e^{x}\cos y\big)=e^{x}\cos y.
Explicação: derivada de e^{x} é e^{x} e a constante \cos y permanece multiplicando.
  • Derivada parcial em relação a y: agora x é tratado como constante. Derivando \cos y -\sin y, então
f_y(x,y)=\frac{\partial}{\partial y}\big(e^{x}\cos y\big)=e^{x}\cdot(-\sin y)=-e^{x}\sin y.
Explicação: e^{x} é constante na diferenciação por y, por isso sai multiplicando.

Passo 5

Avaliar as parciais no ponto (0,0).
  • Para f_x:
f_x(0,0)=e^{0}\cos 0=1\cdot 1=1.
  • Para f_y:
f_y(0,0)=-e^{0}\sin 0=-1\cdot 0=0.
Logo o gradiente no ponto é
\nabla f(0,0)=(1,0).

Passo 6

Usar a fórmula com o produto escalar:
D_{u}f(0,0)=\nabla f(0,0)\cdot u=(1,0)\cdot\left(\tfrac{1}{2},\tfrac{\sqrt{3}}{2}\right).
Calcule o produto escalar componente a componente:
D_{u}f(0,0)=1\cdot\tfrac{1}{2}+0\cdot\tfrac{\sqrt{3}}{2}=\tfrac{1}{2}.

Passo 7

(Segunda via — breve checagem usando a definição por reta) Podemos também parametrizar a reta na direção de u por (x(t),y(t))=(0+t\cos60^\circ,\,0+t\sin60^\circ)=(t\tfrac{1}{2},t\tfrac{\sqrt{3}}{2}). Definindo g(t)=f(x(t),y(t)) temos
g(t)=e^{t\frac{1}{2}}\cos\!\big(t\frac{\sqrt{3}}{2}\big).
Derivando g e avaliando em t=0 (pela regra da cadeia e produto) dá exatamente g'(0)=\tfrac{1}{2}, o que confirma o resultado obtido pelo gradiente.

Resposta

\dfrac{1}{2}

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