Determine a derivada direcional da função
, no ponto
e na direção em que faz com o eixo dos x um ângulo de
.
Passo 1
O enunciado dá a função
, o ponto onde queremos a derivada direcional:
, e a direção que forma com o eixo
um ângulo de
.
O que é pedido: calcular a derivada direcional de no ponto
na direção indicada.
O que é pedido: calcular a derivada direcional de
Passo 2
O que é derivada direcional (intuição e fórmulas): dado
e um ponto
, a derivada direcional de
em
na direção do vetor unitário
é a taxa de variação de
quando nos movemos a partir de
na direção
. Duas formas equivalentes e úteis para calculá-la são:
- Definição pelo limite:
Isto é a definição direta como derivada de função de uma variável ao longo de uma reta.
- Uso do gradiente (quando
é diferenciável):
onde
é o vetor gradiente (as derivadas parciais) e
é o produto escalar. Esta fórmula normalmente é a mais prática na prova, porque basta calcular as parciais e fazer um produto escalar com o vetor unitário da direção.
Vou usar a fórmula com o gradiente porque a função
é suave (diferenciável) e isso torna os cálculos curtos.
Passo 3
Encontrar o vetor unitário da direção que faz
com o eixo
. Um vetor de direção com ângulo
tem componentes
, e esse já é unitário. Aqui
, então
Confirmamos que
, então
é de fato unitário.
Passo 4
Calcular as derivadas parciais de
.
- Derivada parcial em relação a
: ao derivar em tratamos como constante. A função é produto , mas é constante em relação a . Assim
Explicação: derivada de
é
e a constante
permanece multiplicando.
- Derivada parcial em relação a
: agora é tratado como constante. Derivando dá , então
Explicação:
é constante na diferenciação por
, por isso sai multiplicando.
Passo 5
Avaliar as parciais no ponto
.
- Para
:
- Para
:
Logo o gradiente no ponto é
Passo 6
Usar a fórmula com o produto escalar:
Calcule o produto escalar componente a componente:
Passo 7
(Segunda via — breve checagem usando a definição por reta) Podemos também parametrizar a reta na direção de
por
. Definindo
temos
Derivando
e avaliando em
(pela regra da cadeia e produto) dá exatamente
, o que confirma o resultado obtido pelo gradiente.