Determine a derivada direcional da função z=\operatorname{sen}(2 x-y), no ponto \left(\frac{\pi}{2}, \pi\right) e na direção do vetor \overrightarrow{A B}, sendo A(5,1) e B(2,-3).

Passo 1

O enunciado pede a derivada direcional da função z=\operatorname{sen}(2x-y) no ponto \left(\frac{\pi}{2},\pi\right) na direção do vetor \overrightarrow{AB}, com A(5,1) e B(2,-3). Informações relevantes dadas:
  • A função: z=\operatorname{sen}(2x-y).
  • O ponto onde se calcula a derivada direcional: \left(\frac{\pi}{2},\pi\right).
  • Dois pontos que definem a direção: A(5,1) e B(2,-3).
  • Objetivo final: calcular a derivada direcional de z nesse ponto ao longo da direção de \overrightarrow{AB}.

Passo 2

Encontremos o vetor direção \overrightarrow{AB} subtraindo coordenadas de A de B:
\overrightarrow{AB} = B - A = (2-5,\,-3-1) = (-3,\,-4).
Explicação: para obter o vetor que vai de A a B fazemos componente a componente x_B-x_A e y_B-y_A.

Passo 3

Precisamos da direção como vetor unitário. Primeiro calculemos o comprimento (norma) de \overrightarrow{AB}:
\|\overrightarrow{AB}\|=\sqrt{(-3)^2+(-4)^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5.
Agora o vetor unitário na direção de \overrightarrow{AB} é
\mathbf{u}=\frac{\overrightarrow{AB}}{\|\overrightarrow{AB}\|}=\left(\frac{-3}{5},\,\frac{-4}{5}\right).
Por que normalizar? A derivada direcional é definida usando um vetor unitário: ela mede a taxa de variação por unidade de comprimento na direção dada.

Passo 4

Vamos calcular as derivadas parciais necessárias. Usamos a regra da cadeia para funções compostas: se f(x,y)=\operatorname{sen}(g(x,y)), então
\frac{\partial f}{\partial x}=\cos(g(x,y))\cdot\frac{\partial g}{\partial x},\qquad \frac{\partial f}{\partial y}=\cos(g(x,y))\cdot\frac{\partial g}{\partial y}.
Aqui g(x,y)=2x-y. Então
\frac{\partial z}{\partial x}= \cos(2x-y)\cdot 2 = 2\cos(2x-y),
\frac{\partial z}{\partial y}= \cos(2x-y)\cdot (-1) = -\cos(2x-y).
Explicação da regra da cadeia: derivamos a função externa \sin obtendo \cos e multiplicamos pela derivada da expressão interna 2x-y em relação à variável de interesse.

Passo 5

Avaliamos o gradiente no ponto \left(\frac{\pi}{2},\pi\right). Primeiro calculemos o argumento:
2x-y \Big|_{\left(\frac{\pi}{2},\pi\right)} = 2\cdot\frac{\pi}{2}-\pi = \pi-\pi = 0.
Como \cos(0)=1, obtemos
\left.\frac{\partial z}{\partial x}\right|_{\left(\frac{\pi}{2},\pi\right)} = 2\cdot 1 = 2,
\left.\frac{\partial z}{\partial y}\right|_{\left(\frac{\pi}{2},\pi\right)} = -1\cdot 1 = -1.
Portanto o gradiente no ponto é
\nabla z\!\left(\frac{\pi}{2},\pi\right) = (2,\,-1).

Passo 6

A derivada direcional na direção do vetor unitário \mathbf{u} é o produto escalar entre o gradiente e \mathbf{u}:
D_{\mathbf{u}}z = \nabla z\cdot\mathbf{u}.
Computando o produto escalar:
D_{\mathbf{u}}z = (2,\,-1)\cdot\left(\frac{-3}{5},\,\frac{-4}{5}\right) = 2\cdot\frac{-3}{5} + (-1)\cdot\frac{-4}{5} = \frac{-6}{5} + \frac{4}{5} = \frac{-2}{5}.
Breve justificativa da escolha do método: poderíamos usar a definição limite da derivada direcional, mas o uso do gradiente e do produto escalar é o método padrão, mais curto e confiável quando a função é diferenciável — e aqui a função é diferenciável porque é composta por funções trigonométricas e lineares.

Resposta

-\dfrac{2}{5}

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