Determine a derivada direcional da função z=\operatorname{sen}(2 x-y), no ponto \left(\frac{\pi}{2}, \pi\right) e na direção do vetor \overrightarrow{A B}, sendo A(5,1) e B(2,-3).
Passo 1
O enunciado pede a derivada direcional da função z=\operatorname{sen}(2x-y) no ponto \left(\frac{\pi}{2},\pi\right) na direção do vetor \overrightarrow{AB}, com A(5,1) e B(2,-3). Informações relevantes dadas:
A função: z=\operatorname{sen}(2x-y).
O ponto onde se calcula a derivada direcional: \left(\frac{\pi}{2},\pi\right).
Dois pontos que definem a direção: A(5,1) e B(2,-3).
Objetivo final: calcular a derivada direcional de z nesse ponto ao longo da direção de \overrightarrow{AB}.
Passo 2
Encontremos o vetor direção \overrightarrow{AB} subtraindo coordenadas de A de B:
\overrightarrow{AB} = B - A = (2-5,\,-3-1) = (-3,\,-4).
Explicação: para obter o vetor que vai de A a B fazemos componente a componente x_B-x_A e y_B-y_A.
Passo 3
Precisamos da direção como vetor unitário. Primeiro calculemos o comprimento (norma) de \overrightarrow{AB}:
Explicação da regra da cadeia: derivamos a função externa \sin obtendo \cos e multiplicamos pela derivada da expressão interna 2x-y em relação à variável de interesse.
Passo 5
Avaliamos o gradiente no ponto \left(\frac{\pi}{2},\pi\right). Primeiro calculemos o argumento:
Breve justificativa da escolha do método: poderíamos usar a definição limite da derivada direcional, mas o uso do gradiente e do produto escalar é o método padrão, mais curto e confiável quando a função é diferenciável — e aqui a função é diferenciável porque é composta por funções trigonométricas e lineares.