Determine a derivada direcional da função dada na direção do vetor :
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a derivada direcional da função na direção do vetor . Isso envolve conhecimentos de cálculo multivariável, especificamente sobre derivadas direcionais e gradientes.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma derivada direcional. Imagine que você tem uma função que depende de várias variáveis, como . A derivada direcional nos diz a taxa de variação dessa função em uma direção específica, dada por um vetor. Para calcular isso, a gente precisa do gradiente da função e do vetor de direção.
Passo 3
O gradiente de uma função é um vetor que aponta na direção de maior crescimento da função e é composto pelas derivadas parciais em relação a e . Então, vamos calcular as derivadas parciais de :
Assim, o gradiente é:
Passo 4
Agora, vamos normalizar o vetor para garantir que ele tenha comprimento 1, já que a derivada direcional usa um vetor unitário. O vetor dado é .
Primeiro, calculamos o módulo de :
Então, v já é um vetor unitário.
Passo 5
Finalmente, a derivada direcional Dv z é o produto escalar do gradiente de z com o vetor v :
Dv z = nabla z cdot v = ( 2 y^2 tan(x) sec^2(x) ) cdot ( -raiz32 ) + ( 2 y tan^2(x) ) cdot ( 12 )
Simplificando:
Dv z = -raiz3 y^2 tan(x) sec^2(x) + y tan^2(x)
Resposta
A derivada direcional da função z = y^2 tan^2(x) na direção do vetor v = 12(-raiz3, 1) é: