Determine a derivada direcional da função dada na direção do vetor v: z=y^2 tg^2(x), v=12(-raiz3, 1)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a derivada direcional da função z = y^2 tan^2(x) na direção do vetor v = 12(-raiz3, 1) . Isso envolve conhecimentos de cálculo multivariável, especificamente sobre derivadas direcionais e gradientes.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma derivada direcional. Imagine que você tem uma função que depende de várias variáveis, como z = f(x, y) . A derivada direcional nos diz a taxa de variação dessa função em uma direção específica, dada por um vetor. Para calcular isso, a gente precisa do gradiente da função e do vetor de direção.

Passo 3

O gradiente de uma função f(x, y) é um vetor que aponta na direção de maior crescimento da função e é composto pelas derivadas parciais em relação a x e y . Então, vamos calcular as derivadas parciais de z = y^2 tan^2(x) :
partial zpartial x = y^2 cdot 2 tan(x) cdot sec^2(x) = 2 y^2 tan(x) sec^2(x)
partial zpartial y = 2 y tan^2(x)
Assim, o gradiente nabla z é:
nabla z = ( 2 y^2 tan(x) sec^2(x), 2 y tan^2(x) )

Passo 4

Agora, vamos normalizar o vetor v para garantir que ele tenha comprimento 1, já que a derivada direcional usa um vetor unitário. O vetor dado é v = 12(-raiz3, 1) .
Primeiro, calculamos o módulo de v :
|v| = raiz( -raiz32 )^2 + ( 12 )^2 = raiz34 + 14 = raiz1 = 1
Então, v já é um vetor unitário.

Passo 5

Finalmente, a derivada direcional Dv z é o produto escalar do gradiente de z com o vetor v :
Dv z = nabla z cdot v = ( 2 y^2 tan(x) sec^2(x) ) cdot ( -raiz32 ) + ( 2 y tan^2(x) ) cdot ( 12 )
Simplificando:
Dv z = -raiz3 y^2 tan(x) sec^2(x) + y tan^2(x)

Resposta

A derivada direcional da função z = y^2 tan^2(x) na direção do vetor v = 12(-raiz3, 1) é:
Dv z = -raiz3 y^2 tan(x) sec^2(x) + y tan^2(x)

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