Questão 3. Ache a solução geral da equação dada.
d yd t=e^3 t+2 y

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial de primeira ordem
dydt=e^3t+2y
Como o lado direito é produto de função de t com função de y, trata-se de uma equação separável. Para resolver, vamos separar as variáveis y e t em lados opostos e integrar.

Passo 2

Separe as variáveis escrevendo
dydt=e^3te^2y
de modo que
e^-2y,dy=e^3t,dt

Passo 3

Integre ambos os lados:
integral e^-2y,dy = integral e^3t,dt
No lado esquerdo, usando integral e^ax,dx=1a e^ax, obtemos
-,12,e^-2y = 13,e^3t + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 4

Despejando e^-2y e isolando y:
e^-2y = -23,e^3t + C1,
com C1=-2C. Invertendo e aplicando logaritmo:
e^2y = 1,C1 - tfrac23e^3t,, 2y = ln!l(1C1 - tfrac23e^3tr) = -ln!l(C1 - tfrac23e^3tr)
Logo
y(t) = -12,ln!l(C1 - tfrac23e^3tr),
onde C1 é constante arbitrária.

Resposta

y(t) = -12,ln!l(C - tfrac23e^3tr),
com C constante de integração.

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