Questão 3. Ache a solução geral da equação dada.
Passo 1
O enunciado dá a equação de primeira ordem
e pede a solução geral.
Aqui o conteúdo é equações diferenciais não-lineares de primeira ordem e vamos tratar a diferencial numa forma exata, encontrando um fator integrante e depois construindo uma potencial cuja derivada anula.
Aqui o conteúdo é equações diferenciais não-lineares de primeira ordem e vamos tratar a diferencial numa forma exata, encontrando um fator integrante e depois construindo uma potencial cuja derivada anula.
Passo 2
Escrevemos em forma diferencial
Chamando
vemos que não é exata, pois
.
Passo 3
Procuramos um fator integrante do tipo
.
Multiplicando toda a equação por obtemos
Multiplicando toda a equação por
Agora
e de fato
Ou seja, a equação com
fica exata.
Passo 4
Existe então uma função
tal que
Integramos a primeira em
:
Agora impomos
. Derivando a expressão acima em
:
e pedimos que seja igual a
. Logo
Mas note que
é exatamente a derivada de
em relação a
. Integrando
Somando tudo,
Resposta
A solução geral fica dada implicitamente por
onde
é constante de integração.