Questão 3. Ache a solução geral da equação dada.
e^t y d yd t=e^-t+e^-2 t-y

Passo 1

O enunciado dá a equação de primeira ordem
e^t,y,d yd t=e^-t+e^-2t-y
e pede a solução geral.
Aqui o conteúdo é equações diferenciais não-lineares de primeira ordem e vamos tratar a diferencial numa forma exata, encontrando um fator integrante e depois construindo uma potencial cuja derivada anula.

Passo 2

Escrevemos em forma diferencial
-l(e^-t+e^-2t-yr),dt ;+; e^t,y,dy ;=;0
Chamando
M(t,y)=-l(e^-t+e^-2t-yr), N(t,y)=e^t,y,
vemos que não é exata, pois
partial M/partial yneqpartial N/partial t.

Passo 3

Procuramos um fator integrante do tipo mu(y)=e^y.
Multiplicando toda a equação por e^y obtemos
-l(e^-t+y+e^-2tr),dt ;+;e^t,y,e^y,dy=0
Agora
partialpartial yl[-l(e^-t+y+e^-2tr)r] =;-e^-t+y, partialpartial tl[e^t,y,e^yr] =;e^t,y,e^y,
e de fato
-e^-t+y+0 ;=; -e^-t+y ;=; partialy(mu M), e^t,y,e^y ;=; partialt(mu N)
Ou seja, a equação com mu=e^y fica exata.

Passo 4

Existe então uma função F(t,y) tal que
partial Fpartial t =-l(e^-t+y+e^-2tr), partial Fpartial y =e^t,y,e^y
Integramos a primeira em t:
F(t,y) =integral -e^-t+y,dt ;-;integral e^-2t,dt = -e^yl(-e^-tr);-;l(-tfrac12e^-2tr)+h(y)
F(t,y) =e^y,e^-t+tfrac12e^-2t+h(y)
Agora impomos partial F/partial y=e^t,y,e^y. Derivando a expressão acima em y:
partial Fpartial y =e^y,e^-t +;h'(y)
e pedimos que seja igual a e^t,y,e^y. Logo
e^y,e^-t+h'(y)=e^t,y,e^y Longrightarrow h'(y)=e^yl(e^t,y-e^-tr)
Mas note que e^t,y,e^y-e^-te^y é exatamente a derivada de tfrac12e^t,y^2e^y em relação a y. Integrando
h(y)=integral!e^yl(e^t,y-e^-tr),dy =12,e^t,y^2e^y -e^-te^y +C
Somando tudo,
F(t,y) =e^y e^-t +tfrac12e^-2t +l(tfrac12e^t,y^2e^y -e^-te^yr)+C =tfrac12,e^t,y^2e^y +tfrac12e^-2t+C

Resposta

A solução geral fica dada implicitamente por
boxed12,e^t,y^2e^y + 12,e^-2t = C,
onde C é constante de integração.

Exercícios relacionados