Determine a derivada direcional da função dada na direção do vetor
:
Passo 1
Então, o que a gente precisa resolver aqui é calcular a derivada direcional da função
na direção do vetor
. Isso faz parte do conteúdo de Cálculo Diferencial, especificamente de derivadas multivariáveis. Para resolver, vamos precisar entender o que é derivada direcional, calcular o gradiente da função
e depois fazer o produto escalar com o vetor direção
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é a derivada direcional. Ela nos diz a taxa de variação da função
em uma direção específica representada pelo vetor
. Para calcular isso, a gente precisa do gradiente de
, que é um vetor contendo todas as derivadas parciais de
em relação às suas variáveis.
Passo 3
Vamos calcular o gradiente de
. A função é
, então temos três variáveis:
,
e
.
A derivada parcial de
em relação a
é:
Aqui, usamos a regra da cadeia: a derivada de
é
, onde
.
Passo 4
A derivada parcial de
em relação a
é:
Novamente, aplicamos a regra da cadeia para ambas as partes da função: uma derivada de
em
e de
em
.
Passo 5
A derivada parcial de
em relação a
é:
Aqui, só precisamos derivar
em relação a
, aplicando a regra da cadeia.
Passo 6
Agora que temos todas as derivadas parciais, o gradiente de
é:
Passo 7
Em seguida, precisamos verificar se o vetor
é um vetor unitário, ou seja, tem comprimento 1. Calculando a norma de
:
Então, já está tudo certo,
é um vetor unitário.
Passo 8
A derivada direcional de
na direção de
é dada pelo produto escalar do gradiente de
com
:
Isso significa que multiplicamos componente a componente e somamos os resultados.
Passo 9
Fazendo o produto escalar:
Simplificando cada termo:
Passo 10
Reagrupando os termos semelhantes:
Podemos fatorar:
Resposta
A derivada direcional da função
na direção do vetor
é: