Determine a derivada direcional da função dada na direção do vetor v: w=cos (x y)+sen(y z), v=(-13, 23, 23)

Passo 1

Então, o que a gente precisa resolver aqui é calcular a derivada direcional da função w = cos(xy) + sin(yz) na direção do vetor v = (-13, 23, 23) . Isso faz parte do conteúdo de Cálculo Diferencial, especificamente de derivadas multivariáveis. Para resolver, vamos precisar entender o que é derivada direcional, calcular o gradiente da função w e depois fazer o produto escalar com o vetor direção v .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é a derivada direcional. Ela nos diz a taxa de variação da função w em uma direção específica representada pelo vetor v . Para calcular isso, a gente precisa do gradiente de w , que é um vetor contendo todas as derivadas parciais de w em relação às suas variáveis.

Passo 3

Vamos calcular o gradiente de w . A função é w = cos(xy) + sin(yz) , então temos três variáveis: x , y e z .
A derivada parcial de w em relação a x é:
partial wpartial x = -sin(xy) cdot y
Aqui, usamos a regra da cadeia: a derivada de cos(u) é -sin(u) cdot dudx , onde u = xy .

Passo 4

A derivada parcial de w em relação a y é:
partial wpartial y = -sin(xy) cdot x + cos(yz) cdot z
Novamente, aplicamos a regra da cadeia para ambas as partes da função: uma derivada de cos(xy) em y e de sin(yz) em y .

Passo 5

A derivada parcial de w em relação a z é:
partial wpartial z = cos(yz) cdot y
Aqui, só precisamos derivar sin(yz) em relação a z , aplicando a regra da cadeia.

Passo 6

Agora que temos todas as derivadas parciais, o gradiente de w é:
nabla w = ( -sin(xy) cdot y, , -sin(xy) cdot x + cos(yz) cdot z, , cos(yz) cdot y )

Passo 7

Em seguida, precisamos verificar se o vetor v é um vetor unitário, ou seja, tem comprimento 1. Calculando a norma de v :
|v| = raiz(-13)^2 + (23)^2 + (23)^2 = raiz19 + 49 + 49 = raiz1 = 1
Então, já está tudo certo, v é um vetor unitário.

Passo 8

A derivada direcional de w na direção de v é dada pelo produto escalar do gradiente de w com v :
Dvw = nabla w cdot v
Isso significa que multiplicamos componente a componente e somamos os resultados.

Passo 9

Fazendo o produto escalar:
Dvw = ( -sin(xy) cdot y ) cdot (-13) + ( -sin(xy) cdot x + cos(yz) cdot z ) cdot (23) + ( cos(yz) cdot y ) cdot (23)
Simplificando cada termo:
= 13 sin(xy) cdot y + 23 ( -sin(xy) cdot x + cos(yz) cdot z ) + 23 cos(yz) cdot y

Passo 10

Reagrupando os termos semelhantes:
= 13 y sin(xy) - 23 x sin(xy) + 23 z cos(yz) + 23 y cos(yz)
Podemos fatorar:
= sin(xy) ( 13 y - 23 x ) + cos(yz) ( 23 z + 23 y )
= sin(xy) ( y - 2x3 ) + cos(yz) ( 2(z + y)3 )

Resposta

A derivada direcional da função w = cos(xy) + sin(yz) na direção do vetor v = (-13, 23, 23) é:
Dvw = y - 2x3 sin(xy) + 2(z + y)3 cos(yz)

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