Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral juntos! A questão nos pede para calcular:
Aqui, estamos lidando com integração de funções racionais, ou seja, o quociente entre dois polinômios. Para resolver, vamos precisar usar algumas técnicas de álgebra e de cálculo, como divisão de polinômios e integração por substituição.
Passo 2
Primeiro, vamos dar uma olhada no denominador
. O que queremos é escrever o numerador
de uma forma que facilite a integração. Para isso, vamos tentar expressar
como uma combinação linear da derivada do denominador mais um constante.
Calculamos a derivada do denominador:
Agora, assumimos que existe um número
tal que:
Onde
é uma constante que vamos determinar.
Passo 3
Vamos expandir a equação:
Agora, igualamos os coeficientes dos termos semelhantes:
- Para os termos com
:
- Para os termos constantes:
Então, temos:
Passo 4
Agora, substituímos essa expressão na integral original:
Vamos separar a integral em duas partes:
Passo 5
Vamos resolver a primeira integral:
Observe que o numerador
é o múltiplo da derivada do denominador
. Isso é perfeito para a técnica de substituição. Vamos deixar isso mais claro.
Seja
. Então,
.
Reescrevendo a integral:
Passo 6
Agora, vamos para a segunda integral:
Primeiro, completamos o quadrado no denominador para facilitar a integração. Vamos reescrever
da seguinte forma:
Então, a integral fica:
Essa é uma forma padrão que leva à função arctan.
Passo 7
Aplicando a fórmula de integração:
No nosso caso,
e
. Então, a integral se torna:
Resposta
Juntando as duas partes, a solução da integral é:
Onde
é a constante de integração.