integral (4 x+5) d xx^2-3 x+13

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral juntos! A questão nos pede para calcular:
integral 4x + 5x^2 - 3x + 13 , dx
Aqui, estamos lidando com integração de funções racionais, ou seja, o quociente entre dois polinômios. Para resolver, vamos precisar usar algumas técnicas de álgebra e de cálculo, como divisão de polinômios e integração por substituição.

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada no denominador x^2 - 3x + 13 . O que queremos é escrever o numerador 4x + 5 de uma forma que facilite a integração. Para isso, vamos tentar expressar 4x + 5 como uma combinação linear da derivada do denominador mais um constante.
Calculamos a derivada do denominador:
ddx(x^2 - 3x + 13) = 2x - 3
Agora, assumimos que existe um número A tal que:
4x + 5 = A(2x - 3) + B
Onde B é uma constante que vamos determinar.

Passo 3

Vamos expandir a equação:
4x + 5 = 2A x - 3A + B
Agora, igualamos os coeficientes dos termos semelhantes:
  • Para os termos com x :
4 = 2A Rightarrow A = 2
  • Para os termos constantes:
5 = -3A + B Rightarrow 5 = -3(2) + B Rightarrow 5 = -6 + B Rightarrow B = 11
Então, temos:
4x + 5 = 2(2x - 3) + 11

Passo 4

Agora, substituímos essa expressão na integral original:
integral 4x + 5x^2 - 3x + 13 , dx = integral 2(2x - 3) + 11x^2 - 3x + 13 , dx
Vamos separar a integral em duas partes:
integral 2(2x - 3)x^2 - 3x + 13 , dx + integral 11x^2 - 3x + 13 , dx

Passo 5

Vamos resolver a primeira integral:
integral 2(2x - 3)x^2 - 3x + 13 , dx
Observe que o numerador 2(2x - 3) é o múltiplo da derivada do denominador 2x - 3 . Isso é perfeito para a técnica de substituição. Vamos deixar isso mais claro.
Seja u = x^2 - 3x + 13 . Então, du = (2x - 3) dx .
Reescrevendo a integral:
2 integral duu = 2 ln |u| + C = 2 ln(x^2 - 3x + 13) + C

Passo 6

Agora, vamos para a segunda integral:
integral 11x^2 - 3x + 13 , dx
Primeiro, completamos o quadrado no denominador para facilitar a integração. Vamos reescrever x^2 - 3x + 13 da seguinte forma:
x^2 - 3x + 13 = (x^2 - 3x + 94) + 13 - 94 = (x - 32)^2 + 434
Então, a integral fica:
11 integral 1(x - 32)^2 + (raiz432)^2 , dx
Essa é uma forma padrão que leva à função arctan.

Passo 7

Aplicando a fórmula de integração:
integral 1(x - a)^2 + b^2 , dx = 1b arctan(x - ab) + C
No nosso caso, a = 32 e b = raiz432 . Então, a integral se torna:
11 cdot 2raiz43 arctan(2(x - 32)raiz43) + C = 22raiz43 arctan(2x - 3raiz43) + C

Resposta

Juntando as duas partes, a solução da integral é:
2 ln(x^2 - 3x + 13) + 22raiz43 arctan(2x - 3raiz43) + C
Onde C é a constante de integração.

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