Determine a derivada direcional da função dada na direção do vetor v: w=e^(1+x^2+y^2+z^2), v=(1,0,1)

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Precisamos encontrar a derivada direcional da função w = e^1 + x^2 + y^2 + z^2 na direção do vetor v = (1, 0, 1) . Para isso, vamos trabalhar com cálculo vetorial, especificamente com derivadas direcionais.

Passo 2

A derivada direcional nos diz como a função w muda na direção de um vetor específico v . Para calcular isso, primeiro precisamos encontrar o gradiente da função nabla w , que é um vetor formado pelas derivadas parciais de w em relação a cada variável.

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais de w :
partial wpartial x = partialpartial x ( e^1 + x^2 + y^2 + z^2 ) = 2x cdot e^1 + x^2 + y^2 + z^2,
partial wpartial y = partialpartial y ( e^1 + x^2 + y^2 + z^2 ) = 2y cdot e^1 + x^2 + y^2 + z^2,
partial wpartial z = partialpartial z ( e^1 + x^2 + y^2 + z^2 ) = 2z cdot e^1 + x^2 + y^2 + z^2

Passo 4

Agora, juntamos essas derivadas parciais para formar o gradiente:
nabla w = ( 2x cdot e^1 + x^2 + y^2 + z^2, 2y cdot e^1 + x^2 + y^2 + z^2, 2z cdot e^1 + x^2 + y^2 + z^2 )

Passo 5

A derivada direcional Dvw é dada pelo produto escalar do gradiente nabla w com o vetor de direção unitário u . Primeiro, precisamos normalizar o vetor v :
|v| = raiz1^2 + 0^2 + 1^2 = raiz2,
u = ( 1raiz2, 0, 1raiz2 )

Passo 6

Agora, calculamos o produto escalar:
Dvw = nabla w cdot u = ( 2x e^1 + x^2 + y^2 + z^2 ) cdot 1raiz2 + ( 2y e^1 + x^2 + y^2 + z^2 ) cdot 0 + ( 2z e^1 + x^2 + y^2 + z^2 ) cdot 1raiz2
Simplificando:
Dvw = 2x e^1 + x^2 + y^2 + z^2 + 2z e^1 + x^2 + y^2 + z^2raiz2 = 2(x + z) e^1 + x^2 + y^2 + z^2raiz2

Resposta

A derivada direcional de w = e^1 + x^2 + y^2 + z^2 na direção do vetor v = (1, 0, 1) é:
Dvw = 2(x + z) e^1 + x^2 + y^2 + z^2raiz2

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