Determine a derivada direcional da função dada na direção do vetor
:
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Precisamos encontrar a derivada direcional da função
na direção do vetor
. Para isso, vamos trabalhar com cálculo vetorial, especificamente com derivadas direcionais.
Passo 2
A derivada direcional nos diz como a função
muda na direção de um vetor específico
. Para calcular isso, primeiro precisamos encontrar o gradiente da função
, que é um vetor formado pelas derivadas parciais de
em relação a cada variável.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais de
:
Passo 4
Agora, juntamos essas derivadas parciais para formar o gradiente:
Passo 5
A derivada direcional
é dada pelo produto escalar do gradiente
com o vetor de direção unitário
. Primeiro, precisamos normalizar o vetor
:
Passo 6
Agora, calculamos o produto escalar:
Simplificando:
Resposta
A derivada direcional de
na direção do vetor
é: