Determine o valor máximo da derivada direcional da função f no ponto dado e a direção e o sentido em que ocorre: w=2 x y z+y^2+z^2, P(1,1,1)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o valor máximo da derivada direcional da função w = 2xyz + y^2 + z^2 no ponto P(1,1,1) . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo multivariável, como derivadas parciais e gradiente.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é derivada direcional. A derivada direcional de uma função em um ponto mede o quanto a função está crescendo ou diminuindo na direção de um vetor específico. Para encontrar a direção onde essa derivada é máxima, usamos o gradiente da função.

Passo 3

O gradiente da função, representado por nabla w , é um vetor que contém todas as derivadas parciais da função em relação a cada variável. Então, vamos calcular as derivadas parciais de w em relação a x , y e z :
partial wpartial x = 2yz
partial wpartial y = 2xz + 2y
partial wpartial z = 2xy + 2z

Passo 4

Agora, vamos calcular o gradiente no ponto P(1,1,1) . Substituindo x = 1 , y = 1 e z = 1 nas derivadas parciais:
partial wpartial x |(1,1,1) = 2 cdot 1 cdot 1 = 2
partial wpartial y |(1,1,1) = 2 cdot 1 cdot 1 + 2 cdot 1 = 4
partial wpartial z |(1,1,1) = 2 cdot 1 cdot 1 + 2 cdot 1 = 4
Então, o gradiente no ponto P(1,1,1) é:
nabla w(1,1,1) = lang<= 2, 4, 4 rang<=

Passo 5

O valor máximo da derivada direcional é igual ao módulo do gradiente. Vamos calcular o módulo do vetor nabla w(1,1,1) :
| nabla w(1,1,1) | = raiz2^2 + 4^2 + 4^2 = raiz4 + 16 + 16 = raiz36 = 6

Passo 6

A direção na qual a derivada direcional é máxima é a direção do próprio gradiente. Para obter um vetor unitário nessa direção, dividimos o gradiente pelo seu módulo:
Vetor de direção = nabla w(1,1,1)| nabla w(1,1,1) | = lang<= 2, 4, 4 rang<=6 = lang<= 13, 23, 23 rang<= çã

Resposta

O valor máximo da derivada direcional da função w no ponto P(1,1,1) é 6, ocorrendo na direção do vetor lang<= 13, 23, 23 rang<= .

Exercícios relacionados