Determine o valor máximo da derivada direcional da função f no ponto dado e a direção e o sentido em que ocorre:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o valor máximo da derivada direcional da função no ponto . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo multivariável, como derivadas parciais e gradiente.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é derivada direcional. A derivada direcional de uma função em um ponto mede o quanto a função está crescendo ou diminuindo na direção de um vetor específico. Para encontrar a direção onde essa derivada é máxima, usamos o gradiente da função.
Passo 3
O gradiente da função, representado por , é um vetor que contém todas as derivadas parciais da função em relação a cada variável. Então, vamos calcular as derivadas parciais de em relação a , e :
Passo 4
Agora, vamos calcular o gradiente no ponto . Substituindo , e nas derivadas parciais:
A direção na qual a derivada direcional é máxima é a direção do próprio gradiente. Para obter um vetor unitário nessa direção, dividimos o gradiente pelo seu módulo: