Use a regra da cadeia para achar
.
d)
d)
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede:
- É dada a função
em termos de e :
- São dadas as dependências de
e em relação ao parâmetro :
- O que se pede: calcular
, ou seja, a derivada total de em relação a .
Passo 2
Estratégia (explicação da regra da cadeia multivariável que vamos usar).
Quando depende de
e
, e
e
dependem de
, a regra da cadeia multivariável diz:
Quando
Aqui
é a derivada parcial de
em relação a
(mantendo
fixo) e
é a derivada parcial em relação a
(mantendo
fixo). Depois multiplicamos cada parcial pela taxa de variação da variável correspondente em relação a
.
Passo 3
Calcular as derivadas parciais
e
.
- Como
, tratando como constante ao derivar em relação a , obtemos:
- Para
, é tratado como constante e usamos a regra da cadeia interna para . A derivada de em relação a é , e então derivamos em relação a , obtendo . Assim:
Passo 4
Calcular
e
.
- Como
,
- Como
,
Passo 5
Aplicar a regra da cadeia combinando parciais e derivadas de
:
Substituindo as expressões das parciais e das derivadas:
Passo 6
Substituir
e
na expressão anterior (passo que transforma tudo em função de
):
Primeiro observe os argumentos trigonométricos: .
Agora substituindo:
Primeiro observe os argumentos trigonométricos:
Agora substituindo:
Passo 7
Fazer a simplificação algébrica final (coeficientes e potências de
).
No segundo termo, .
Portanto a expressão simplificada é:
No segundo termo,
Portanto a expressão simplificada é:
Passo 8
Comentário final e checagem rápida (didática leve):
- Dá para checar fazendo primeiro
e usando regra do produto + regra da cadeia para ; o resultado coincide com o que acabamos de obter. - Forma factorizada útil (opcional para prova): fator comum
,
Isso não altera o resultado, apenas deixa a expressão mais compacta.