Use a regra da cadeia para achar \frac{d z}{d t}.
d) z=x \cos \left(2 y^{2}\right), x=t^{3}, y=t^{2}

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede:
  • É dada a função z em termos de x e y:
z = x \cos\!\bigl(2 y^{2}\bigr).
  • São dadas as dependências de x e y em relação ao parâmetro t:
x = t^{3},\qquad y = t^{2}.
  • O que se pede: calcular \dfrac{dz}{dt}, ou seja, a derivada total de z em relação a t.

Passo 2

Estratégia (explicação da regra da cadeia multivariável que vamos usar).
Quando z depende de x e y, e x e y dependem de t, a regra da cadeia multivariável diz:
\frac{dz}{dt}=\frac{\partial z}{\partial x}\,\frac{dx}{dt}+\frac{\partial z}{\partial y}\,\frac{dy}{dt}.
Aqui \dfrac{\partial z}{\partial x} é a derivada parcial de z em relação a x (mantendo y fixo) e \dfrac{\partial z}{\partial y} é a derivada parcial em relação a y (mantendo x fixo). Depois multiplicamos cada parcial pela taxa de variação da variável correspondente em relação a t.

Passo 3

Calcular as derivadas parciais \dfrac{\partial z}{\partial x} e \dfrac{\partial z}{\partial y}.
  • Como z=x\cos\!\bigl(2y^{2}\bigr), tratando y como constante ao derivar em relação a x, obtemos:
\frac{\partial z}{\partial x}=\cos\!\bigl(2y^{2}\bigr).
  • Para \dfrac{\partial z}{\partial y}, x é tratado como constante e usamos a regra da cadeia interna para \cos(2y^{2}). A derivada de \cos(u) em relação a u é -\sin(u), e então derivamos u=2y^{2} em relação a y, obtendo u'=4y. Assim:
\frac{\partial z}{\partial y}=x\cdot\bigl(-\sin(2y^{2})\bigr)\cdot 4y = -4xy\sin\!\bigl(2y^{2}\bigr).

Passo 4

Calcular \dfrac{dx}{dt} e \dfrac{dy}{dt}.
  • Como x=t^{3},
\frac{dx}{dt}=3t^{2}.
  • Como y=t^{2},
\frac{dy}{dt}=2t.

Passo 5

Aplicar a regra da cadeia combinando parciais e derivadas de x,y:
\frac{dz}{dt}=\frac{\partial z}{\partial x}\,\frac{dx}{dt}+\frac{\partial z}{\partial y}\,\frac{dy}{dt}.
Substituindo as expressões das parciais e das derivadas:
\frac{dz}{dt}=\cos\!\bigl(2y^{2}\bigr)\cdot 3t^{2} + \bigl(-4xy\sin\!(2y^{2})\bigr)\cdot 2t.

Passo 6

Substituir x=t^{3} e y=t^{2} na expressão anterior (passo que transforma tudo em função de t):
Primeiro observe os argumentos trigonométricos: 2y^{2}=2(t^{2})^{2}=2t^{4}.
Agora substituindo:
\frac{dz}{dt}=3t^{2}\cos\!\bigl(2t^{4}\bigr) + \bigl(-4\cdot t^{3}\cdot t^{2}\sin\!(2t^{4})\bigr)\cdot 2t.

Passo 7

Fazer a simplificação algébrica final (coeficientes e potências de t).
No segundo termo, -4\cdot t^{3}\cdot t^{2}\cdot 2t = -4\cdot 2 \cdot t^{3+2+1} = -8\,t^{6}.
Portanto a expressão simplificada é:
\frac{dz}{dt}=3t^{2}\cos\!\bigl(2t^{4}\bigr)-8t^{6}\sin\!\bigl(2t^{4}\bigr).

Passo 8

Comentário final e checagem rápida (didática leve):
  • Dá para checar fazendo primeiro z(t)=t^{3}\cos(2t^{4}) e usando regra do produto + regra da cadeia para \cos(2t^{4}); o resultado coincide com o que acabamos de obter.
  • Forma factorizada útil (opcional para prova): fator comum t^{2},
\frac{dz}{dt}=t^{2}\Bigl(3\cos\!(2t^{4})-8t^{4}\sin\!(2t^{4})\Bigr).
Isso não altera o resultado, apenas deixa a expressão mais compacta.

Resposta

\frac{dz}{dt}=3t^{2}\cos\!\bigl(2t^{4}\bigr)-8t^{6}\sin\!\bigl(2t^{4}\bigr)

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