Qual é a equação vetorial associada ao plano a que contém o ponto A(1, 7 7) e é paralelo aos vetores - (32,-19, 21) е = (17,91, 17)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para achar a equação vetorial de um plano que passa pelo ponto $ A(1, 7, 7) $ e é paralelo aos vetores $ \vec{v_1} = (32, -19, 21) $ e $ \vec{v_2} = (17, 91, 17) $. Para isso, vamos precisar usar conceitos de geometria analítica sobre planos no espaço e como representá-los vetorialmente.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a equação vetorial de um plano pode ser expressa da seguinte forma:
r = r0 + sv1 + tv2
Aqui, $ \vec{r} $ é um vetor genérico qualquer no plano, $ \vec{r_0} $ é o vetor posição de um ponto conhecido no plano (no caso, o ponto $ A $), e $ s $ e $ t $ são escalares que variam livremente. Os vetores $ \vec{v_1} $ e $ \vec{v_2} $ são diretores do plano, ou seja, vetores que estão dentro do plano e indicam suas direções.

Passo 3

Vamos identificar cada parte da equação com os dados que temos:
  • $ \vec{r_0} $ é o vetor posição do ponto $ A(1, 7, 7) $, que pode ser escrito como $ \vec{r_0} = (1, 7, 7) $.
  • Os vetores paralelos são $ \vec{v_1} = (32, -19, 21) $ e $ \vec{v_2} = (17, 91, 17) $.

Passo 4

Substituindo esses valores na equação geral do plano, temos:
r = (1, 7, 7) + s(32, -19, 21) + t(17, 91, 17)
Onde $ s $ e $ t $ são números reais que podem variar para gerar qualquer ponto no plano.

Passo 5

Então, essa expressão nos dá a equação vetorial do plano procurado. Cada combinação dos valores de $ s $ e $ t $ vai nos dar um ponto diferente que está nesse plano, respeitando a condição de ser paralelo aos vetores $ \vec{v_1} $ e $ \vec{v_2} $ e de passar pelo ponto $ A $.

Resposta

A equação vetorial do plano é:
r = (1, 7, 7) + s, (32, -19, 21) + t, (17, 91, 17)
onde $ s $ e $ t $ são números reais.

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