Determine a derivada direcional da função f(x, y)=x^{3} y^{2} z^{5}-2 x z+y z+3 x em P(1,2,-1) na direção e no sentido do eixo z negativo.

Passo 1

O enunciado pede a derivada direcional da função
f(x,y,z)=x^{3}y^{2}z^{5}-2xz+yz+3x
no ponto P(1,2,-1) na direção e sentido do eixo z negativo.
Para isso vamos usar o conceito de derivada direcional via o vetor gradiente.

Passo 2

A derivada direcional de f na direção de um vetor unitário \mathbf{u} é
D_{\mathbf{u}}f(P)=\nabla f(P)\cdot\mathbf{u}.
Primeiro, calculamos o gradiente \nabla f=(f_x,f_y,f_z), onde
f_x=\frac{\partial f}{\partial x},\quad f_y=\frac{\partial f}{\partial y},\quad f_z=\frac{\partial f}{\partial z}.

Passo 3

Calculamos as derivadas parciais:
f_x=3x^2y^2z^5-2z+3,
f_y=2x^3y\,z^5+z,
f_z=5x^3y^2z^4-2x+y.

Passo 4

Agora avaliamos em P(1,2,-1):
f_x(1,2,-1)=3\cdot1^2\cdot2^2\cdot(-1)^5-2(-1)+3=-12+2+3=-7,
f_y(1,2,-1)=2\cdot1^3\cdot2\cdot(-1)^5+(-1)=-4-1=-5,
f_z(1,2,-1)=5\cdot1^3\cdot2^2\cdot(-1)^4-2\cdot1+2=20-2+2=20.
Logo \nabla f(1,2,-1)=(-7,-5,20).

Passo 5

A direção do eixo z negativo é dada pelo vetor unitário \mathbf{u}=(0,0,-1). Assim,
D_{\mathbf{u}}f(P)=(-7,-5,20)\cdot(0,0,-1)=-20.

Resposta

-20

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