Uma partícula move-se ao longo de uma curva r(t)=\left(3 t^{2}, 2 t+1\right).
a) Determine a velocidade da partícula no ponto (12,5).
b) Determine o instante em que a particula está sobre a circunferência x^{2}+y^{2}=18.

Passo 1

O enunciado dá a trajetória da partícula
r(t) = \bigl(3t^2,\;2t+1\bigr)
e pede em (a) a velocidade no ponto (12,5) e em (b) os instantes em que ela está sobre a circunferência x^2+y^2=18.
Conteúdos: derivada de função vetorial para achar velocidade e resolução de equação polinomial para encontrar instantes.

Passo 2

A velocidade é a derivada de r(t). Calculando componente a componente,
r'(t) = \bigl(6t,\;2\bigr).

Passo 3

Para achar o instante em que r(t)=(12,5) resolvemos
3t^2 = 12, \quad 2t+1 = 5.
Da segunda vem 2t = 4\Rightarrow t=2. Verificando na primeira: 3\cdot2^2 = 12, consistente. Logo o ponto (12,5) ocorre em t=2.

Passo 4

Substituindo t=2 em r'(t),
r'(2) = \bigl(6\cdot2,\;2\bigr) = (12,2).
Essa é a velocidade da partícula no ponto (12,5).

Passo 5

Para achar os instantes em que o ponto está sobre x^2+y^2=18, impomos
(3t^2)^2 + (2t+1)^2 = 18
ou seja
9t^4 + (4t^2 + 4t +1) - 18 = 0 \quad\Longrightarrow\quad 9t^4 + 4t^2 +4t -17 = 0.

Passo 6

Observamos que t=1 é raiz, pois
9\cdot1^4 +4\cdot1^2 +4\cdot1 -17 = 9+4+4 -17 = 0.
Fazendo a divisão polinomial por (t-1) obtemos um polinômio cúbico que tem uma outra raiz real aproximada
t \approx -1{,}17,
além de duas raízes complexas que não interessam para instantes reais.

Resposta

(a) A velocidade no ponto (12,5) é \,r'(2) = (12,2).
(b) Os instantes em que a partícula está sobre x^2+y^2=18 são
t = 1 \quad\text{e}\quad t \approx -1{,}17.

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