A trajetória de uma partícula é dada por r(t)=(3 \cos t, 3 sen t, 4 t). Em t=2 \pi, ela. abandona a trajetória e passa a caminhar na direção da tangente. Determine:
a) Sua posição em t=4 \pi;
b) A distancla percorrida de t=0 até t=5 \pi

Passo 1

O enunciado dá a trajetória paramétrica de uma partícula em \mathbb{R}^3
r(t) = \bigl(3\cos t,\;3\operatorname{sen} t,\;4t\bigr)
para t\ge0. Em t=2\pi ela abandona essa curva e passa a caminhar em linha reta na direção da tangente naquele ponto, mantendo a mesma velocidade instantânea. Precisamos achar:
a) a posição em t=4\pi;
b) a distância total percorrida de t=0 até t=5\pi.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a velocidade e a sua magnitude (que é a velocidade escalar). A velocidade é
r'(t) = \bigl(-3\operatorname{sen} t,\;3\cos t,\;4\bigr).
A magnitude dessa velocidade é
\bigl\lVert r'(t)\bigr\rVert = \sqrt{(-3\operatorname{sen} t)^2 + (3\cos t)^2 + 4^2} = \sqrt{9\operatorname{sen}^2t + 9\cos^2t + 16} = \sqrt{9 + 16} = 5.
Note que a velocidade escalar é constante e igual a 5.

Passo 3

Em t=2\pi a posição na curva original é
r(2\pi) = \bigl(3\cos(2\pi),\,3\operatorname{sen}(2\pi),\,4\cdot2\pi\bigr) = (3,\,0,\,8\pi).
E a direção da tangente é dada por r'(2\pi)=(-3\sen2\pi,3\cos2\pi,4)=(0,3,4).
Para t>2\pi a partícula se afasta em linha reta com velocidade vetorial constante r'(2\pi).
Em particular, para t=4\pi o tempo decorrido desde a saída é \Delta t=4\pi-2\pi=2\pi, então
r(4\pi) = r(2\pi) + \Delta t \,\bigl[r'(2\pi)\bigr] = (3,0,8\pi) + 2\pi\,(0,3,4) = \bigl(3,\;6\pi,\;8\pi+8\pi\bigr) = \bigl(3,\;6\pi,\;16\pi\bigr).

Passo 4

Para a distância percorrida de t=0 até t=5\pi, dividimos em dois trechos:
  1. De 0 a 2\pi, segue a curva original com velocidade escalar constante 5. A distância é
\int_{0}^{2\pi} \bigl\lVert r'(t)\bigr\rVert \,dt = \int_{0}^{2\pi} 5\,dt = 5\cdot2\pi = 10\pi.
  1. De 2\pi a 5\pi, caminha em linha reta com a mesma velocidade escalar 5 durante \Delta t = 5\pi - 2\pi = 3\pi. A distância é
5 \cdot 3\pi = 15\pi.
Somando os dois trechos, a distância total é
10\pi + 15\pi = 25\pi.

Resposta

a) A posição em t=4\pi é \bigl(3,\,6\pi,\,16\pi\bigr).
b) A distância percorrida de t=0 até t=5\pi é 25\pi.

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