A trajetória de uma partícula é dada por r(t)=(3 \cos t, 3 sen t, 4 t). Em t=2 \pi, ela. abandona a trajetória e passa a caminhar na direção da tangente. Determine:
a) Sua posição em t=4 \pi;
b) A distancla percorrida de t=0 até t=5 \pi
Passo 1
O enunciado dá a trajetória paramétrica de uma partícula em \mathbb{R}^3
para t\ge0. Em t=2\pi ela abandona essa curva e passa a caminhar em linha reta na direção da tangente naquele ponto, mantendo a mesma velocidade instantânea. Precisamos achar:
a) a posição em t=4\pi;
b) a distância total percorrida de t=0 até t=5\pi.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a velocidade e a sua magnitude (que é a velocidade escalar). A velocidade é
E a direção da tangente é dada por r'(2\pi)=(-3\sen2\pi,3\cos2\pi,4)=(0,3,4).
Para t>2\pi a partícula se afasta em linha reta com velocidade vetorial constante r'(2\pi).
Em particular, para t=4\pi o tempo decorrido desde a saída é \Delta t=4\pi-2\pi=2\pi, então