Determine a derivada direcional da função no ponto dado, na direção e sentido do vetor v.
f(r, theta)=e^-r cdot sen theta, no ponto P=(0, pi3), v=3 i-2 j;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a derivada direcional da função f(r, theta) = e^-r cdot sin theta no ponto P = (0, pi3) na direção do vetor v = 3i - 2j . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, como gradiente e vetores unitários.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o gradiente da função f . O gradiente aponta a direção de crescimento máximo da função e é dado pelas derivadas parciais em relação às variáveis. No nosso caso, as variáveis são r e theta .
A função é:
f(r, theta) = e^-r cdot sin theta
Vamos calcular as derivadas parciais:
partial fpartial r = -e^-r cdot sin theta
partial fpartial theta = e^-r cdot cos theta

Passo 3

Agora, avaliamos o gradiente no ponto P = (0, pi3) :
partial fpartial r |P = -e^0 cdot sin(pi3) = -1 cdot raiz32 = -raiz32
partial fpartial theta |P = e^0 cdot cos(pi3) = 1 cdot 12 = 12
Então, o gradiente no ponto P é:
nabla f(P) = ( -raiz32, 12 )

Passo 4

A próxima etapa é encontrar a direção do vetor v = 3i - 2j . Primeiro, vamos transformar esse vetor em um vetor unitário, ou seja, com comprimento igual a 1.
O comprimento de v é:
|v| = raiz3^2 + (-2)^2 = raiz9 + 4 = raiz13
Então, o vetor unitário na direção de v é:
u = ( 3raiz13, -2raiz13 )

Passo 5

Agora, para encontrar a derivada direcional, fazemos o produto escalar do gradiente de f com o vetor unitário u :
Dv f = nabla f(P) cdot u = ( -raiz32, 12 ) cdot ( 3raiz13, -2raiz13 )
Calculando o produto escalar:
Dv f = ( -raiz32 cdot 3raiz13 ) + ( 12 cdot -2raiz13 ) = -3raiz32raiz13 + -1raiz13 = -3raiz3 - 22raiz13

Resposta

A derivada direcional de f no ponto P na direção do vetor v é:
Dv f = -3raiz3 - 2 2raiz13

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