Determine a derivada direcional da função no ponto dado, na direção e sentido do vetor . , no ponto ;
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a derivada direcional da função no ponto na direção do vetor . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, como gradiente e vetores unitários.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o gradiente da função . O gradiente aponta a direção de crescimento máximo da função e é dado pelas derivadas parciais em relação às variáveis. No nosso caso, as variáveis são e .
A próxima etapa é encontrar a direção do vetor v = 3i - 2j . Primeiro, vamos transformar esse vetor em um vetor unitário, ou seja, com comprimento igual a 1.
O comprimento de v é:
|v| = raiz3^2 + (-2)^2 = raiz9 + 4 = raiz13
Então, o vetor unitário na direção de v é:
u = ( 3raiz13, -2raiz13 )
Passo 5
Agora, para encontrar a derivada direcional, fazemos o produto escalar do gradiente de f com o vetor unitário u :
Dv f = nabla f(P) cdot u = ( -raiz32, 12 ) cdot ( 3raiz13, -2raiz13 )