Resolva
Passo 1
Vamos resolver a equação diferencial
. Essa é uma equação diferencial exata. Precisamos verificar se ela é exata e, se for, encontrar uma função
que satisfaça essa equação.
Passo 2
Primeiro, identificamos os componentes da equação. Seja
e
. Para verificar se a equação é exata, calculamos as derivadas parciais
e
.
Passo 3
Calculando
:
Aqui, usamos a regra da derivada para funções compostas e lembrou de derivar
em relação a
.
Passo 4
Agora, calculando
:
Novamente, aplicamos as regras de derivação para cada termo de
em relação a
.
Passo 5
Comparamos as duas derivadas:
Como elas são iguais, a equação diferencial é exata. Isso significa que existe uma função
tal que
.
Passo 6
Para encontrar
, integramos
em relação a
:
Aqui,
é uma função que depende somente de
.
Passo 7
Agora, derivamos
em relação a
e igualamos a
:
Isso simplifica para:
Passo 8
Integrando
em relação a
, encontramos:
Onde
é a constante de integração.
Resposta
A solução geral da equação é
, onde
é uma constante.