Resolva (e^2 y-y cos (x y)) d x+(2 x e^2 y-x cos (x y)+2 y) d y=0

Passo 1

Vamos resolver a equação diferencial (e^2 y-y cos (x y)) dx + (2 x e^2 y-x cos (x y)+2 y) dy = 0. Essa é uma equação diferencial exata. Precisamos verificar se ela é exata e, se for, encontrar uma função F(x, y) que satisfaça essa equação.

Passo 2

Primeiro, identificamos os componentes da equação. Seja M = e^2 y - y cos(x y) e N = 2 x e^2 y - x cos(x y) + 2 y. Para verificar se a equação é exata, calculamos as derivadas parciais partial Mpartial y e partial Npartial x.

Passo 3

Calculando partial Mpartial y:
partial Mpartial y = 2 e^2 y - cos(x y) + x y sin(x y)
Aqui, usamos a regra da derivada para funções compostas e lembrou de derivar y cos(x y) em relação a y.

Passo 4

Agora, calculando partial Npartial x:
partial Npartial x = 2 e^2 y - cos(x y) + x y sin(x y)
Novamente, aplicamos as regras de derivação para cada termo de N em relação a x.

Passo 5

Comparamos as duas derivadas:
partial Mpartial y = partial Npartial x
Como elas são iguais, a equação diferencial é exata. Isso significa que existe uma função F(x, y) tal que dF = M dx + N dy.

Passo 6

Para encontrar F(x, y), integramos M em relação a x:
F(x, y) = integral M , dx = integral (e^2 y - y cos(x y)) dx = e^2 y x - sin(x y) + g(y)
Aqui, g(y) é uma função que depende somente de y.

Passo 7

Agora, derivamos F(x, y) em relação a y e igualamos a N:
partial Fpartial y = 2 e^2 y x - x cos(x y) + g'(y) = N = 2 x e^2 y - x cos(x y) + 2 y
Isso simplifica para:
g'(y) = 2 y

Passo 8

Integrando g'(y) em relação a y, encontramos:
g(y) = y^2 + C
Onde C é a constante de integração.

Resposta

A solução geral da equação é e^2 y x - sin(x y) + y^2 = C, onde C é uma constante.

Exercícios relacionados