Encontre o domínio e esboce o gráfico de cada uma das seguintes funções.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar o domínio e esboçar o gráfico da função
. Isso faz parte do conteúdo de funções matemáticas, especificamente envolvendo o conceito de domínio e a representação gráfica. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é o domínio de uma função e como identificar os pontos onde a função está definida, além de saber um pouco sobre como grafar funções racionais como essa.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre o domínio da função. O domínio de uma função é o conjunto de todos os valores de
para os quais a função está definida, ou seja, onde conseguimos calcular o valor de
sem problemas. Para encontrar o domínio de
, precisamos identificar quais valores de
tornam o denominador diferente de zero, porque a divisão por zero não é permitida na matemática.
Passo 3
Então, vamos analisar o denominador da nossa função:
. Queremos que
. Resolver isso é simples: o único valor de
que faz
é
. Portanto, a função não está definida quando
. Assim, o domínio de
é todos os números reais exceto zero. Em notação matemática, isso fica:
Passo 4
Agora, vamos esboçar o gráfico da função
. Sabemos que
sempre dá um resultado positivo, exceto quando
. Isso significa que
também será sempre positivo. Além disso, conforme
se afasta de zero (tanto para valores positivos quanto negativos),
aumenta, então
diminui, aproximando-se de zero. Perto de
,
cresce muito, indo ao infinito.
Isso resulta em um gráfico com duas “ramificações” simétricas em relação ao eixo
, formando uma espécie de “U” voltado para cima em cada lado, sem tocar o eixo
porque
não está no domínio.
Resposta
O domínio da função
é todos os números reais exceto zero, ou seja,
. O gráfico apresenta duas ramificações simétricas em relação ao eixo
, com as curvas se aproximando do eixo vertical conforme
se aproxima de zero e do eixo horizontal conforme
tende ao infinito. Não há interseção com o eixo
, e o eixo
atua como uma assíntota horizontal.
Gráfico

(Imagine um gráfico com duas curvas em forma de U voltadas para cima, uma à direita e outra à esquerda do eixo y, sem tocar o eixo y.)