Determine a derivada direcional da função f no ponto P dado, na direção do vetor v :
f(x, y)=ln y^2+x^2, P=(2,1), v=(-1,2).

Passo 1

O enunciado pede a derivada direcional de
f(x,y)=ln y^2+x^2
no ponto P=(2,1) na direção do vetor vec v=(-1,2).
Para isso a gente vai usar que a derivada direcional de f em P na direção unitária u é
D uf(P)=nabla f(P)cdot u
ou seja, precisamos (1) achar o gradiente nabla f, (2) avaliá-lo em P, (3) normalizar vec v para obter u, e (4) fazer o produto escalar.

Passo 2

Calcular as derivadas parciais de f.
Para x:
partial fpartial x=2x
Para y:
partial fpartial y=ddyl(ln y^2r) =2yy^2=2y
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nabla f(x,y)=l(2x,;tfrac2yr)

Passo 3

Avaliar o gradiente em P=(2,1):
nabla f(2,1)=l(2cdot2,;tfrac21r)=(4,2)

Passo 4

Normalizar o vetor vec v=(-1,2).
O módulo de vec v é
|vec v|=raiz(-1)^2+2^2=raiz5
A direção unitária é
u=vec v|vec v| =l(-tfrac1raiz5,;tfrac2raiz5r)

Passo 5

Calcular a derivada direcional:
D uf(2,1) =nabla f(2,1)cdot u =(4,2)cdotl(-tfrac1raiz5,;tfrac2raiz5r) =4cdot(-1)+2cdot2raiz5 =-4+4raiz5 =0

Resposta

A derivada direcional de f em P=(2,1) na direção de vec v=(-1,2) é 0.

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